Analisis

Asíntota horizontal

Asintota horizontal
Una asíntota horizontal es una línea horizontal que no forma parte de la gráfica de una función pero que la guía para valores de x «muy» a la derecha y/o «muy» a la izquierda. La gráfica puede cruzarla pero finalmente, para valores de x suficientemente grandes o pequeños valores suficientemente grandes o pequeños de x (acercándose a ), la gráfica se acercaría cada vez más a la asíntota sin tocarla tocarla. Una asíntota horizontal es un caso especial de una asíntota oblicua.

Asíntota horizontal

Antes de entrar en la definición de asíntota horizontal, repasemos primero qué es una función. Una función es una ecuación que indica cómo se relacionan dos cosas. Por lo general, las funciones te dicen cómo se relaciona y con x. Las funciones a menudo se grafican para proporcionar una imagen.

Una asíntota horizontal es una línea horizontal que te dice cómo se comportará la función en los bordes de una gráfica. Sin embargo, una asíntota horizontal no es terreno sagrado. La función puede tocar e incluso cruzar la asíntota.

Las asíntotas horizontales existen para funciones en las que tanto el numerador como el denominador son polinomios. Estas funciones se llaman expresiones racionales. Veamos una para ver cómo es una asíntota horizontal.

Los problemas relativos a las asíntotas horizontales aparecen en el examen de Cálculo AP AB y BC, y es importante saber encontrar las asíntotas horizontales tanto gráficamente (a partir de la propia gráfica) como analíticamente (a partir de la ecuación de una función).

Sin embargo, antes de adentrarnos en la búsqueda de las asíntotas será mejor que veamos qué es exactamente una asíntota.

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Definición de asíntota horizontal

Una asíntota horizontal de una función es una línea horizontal a la que se aproxima la gráfica de la función cuando x se acerca a ∞ (infinito) o a -∞ (menos infinito). En otras palabras, si y = k es una asíntota horizontal para la función y = f(x), entonces los valores (coordenadas y) de f(x) se acercan cada vez más a k a medida que se traza la curva hacia la derecha (x→ ∞) o hacia la izquierda (x → -∞).

La definición de límite para las asíntotas horizontales

Dado que las asíntotas se definen de esta manera, no debería sorprender que los límites hagan su aparición. La definición precisa de una asíntota horizontal es la siguiente: Decimos que y = k es una asíntota horizontal para la función y = f(x) si cualquiera de las dos afirmaciones de límite son ciertas: Definición de límite de las asíntotas .

Encontrar asíntotas horizontales gráficamente
Una función puede tener dos, una o ninguna asíntota. Por ejemplo, la gráfica que se muestra a continuación tiene dos asíntotas horizontales, y = 2 (como x→ -∞), e y = -3 (como x→ ∞).

Ejemplo con dos asíntotas horizontales

Si se da una gráfica, basta con mirar el lado izquierdo y el lado derecho. Si parece que la curva se nivela, entonces sólo hay que localizar la coordenada y a la que parece acercarse la curva. Es útil trazar una línea horizontal a la altura donde crees que debería estar la asíntota. Veamos cómo funciona esto en el siguiente ejemplo. Ten en cuenta que normalmente no se te mostrará la línea discontinua - ¡eso haría el problema demasiado fácil!

Ejemplo con una asíntota horizontal
La gráfica de la izquierda muestra una función típica. Si sigues la parte izquierda de la curva todo lo que puedas hacia la izquierda, ¿dónde acabas? Es decir, ¿cuál es la coordenada y del punto más a la izquierda de la gráfica? Una buena estimación podría estar entre 1 y 2, quizás un poco más cerca de 1.

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Pues bien, imagina qué pasaría si siguieras dibujando la gráfica hacia la izquierda de lo que se muestra. Parece razonable que la curva se nivele y se acerque a un valor de 1, tocando suavemente la línea horizontal y = 1 como si se tratara del aterrizaje de un avión.

Del mismo modo, sigue la parte derecha de la curva lo más lejos posible hacia la derecha, e imagina lo que ocurriría si siguieras avanzando. De nuevo, la curva parece nivelarse y acercarse a y = 1, esta vez subiendo desde abajo de la línea. Esta función tiene una única asíntota horizontal, y = 1. Una vez que dibujas la línea (punteada en la figura de la derecha), queda claro que hemos encontrado la asíntota horizontal correcta.

Vídeos de Asíntota horizontal

https://www.youtube.com/watch?v=lp_GezNWwUw

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