Derivadas de funciones implícitas

Diferenciación implícita y regla de la cadena

La regla de la cadena de la diferenciación juega un papel importante al encontrar la derivada de la función implícita. La regla de la cadena dice que d/dx (f(g(x)) = (f' (g(x)) - g'(x). Siempre que nos encontremos con la derivada de los términos y con respecto a x, la regla de la cadena entra en escena y debido a la regla de la cadena, multiplicamos la derivada real (por fórmulas de derivación) por dy/dx. He aquí un ejemplo.

La diferenciación implícita de la regla de la cadena se explica claramente con un ejemplo.

Aquí hay más ejemplos para entender la regla de la cadena en la diferenciación implícita.

d/dx (y2) = 2y dy/dx
d/dx (sen y) = cos y dy/dx
d/dx (ln y) = 1/y - dy/dx
d/dx (tan-1y) = 1/(1 + y2) - dy/dx

En otras palabras, dondequiera que se diferencie y, escriba dy/dx también allí. Se sugiere repasar estos ejemplos una y otra vez, ya que son muy útiles para hacer la diferenciación implícita.

¿Cómo hacer la diferenciación implícita?

En el proceso de diferenciación implícita, no podemos empezar directamente con dy/dx ya que una función implícita no es de la forma y = f(x), sino que es de la forma f(x, y) = 0. Ten en cuenta que debemos conocer las reglas de la derivada como la regla de la potencia, la regla del producto, la regla del cociente, la regla de la cadena, etc. antes de aprender el proceso de diferenciación implícita. Aquí está el diagrama de flujo de los pasos para realizar la diferenciación implícita.

¿Cómo hacer la diferenciación implícita? El proceso se explica paso a paso.

Ahora, estos pasos se explican con un ejemplo en el que vamos a encontrar la derivada implícita dy/dx si la función es y + sen y = sen x.

Paso - 1: Diferenciar cada término de ambos lados con respecto a x.
Entonces obtenemos d/dx(y) + d/dx(sen y) = d/dx(sen x).
Paso - 2: Aplicar las fórmulas de derivación para encontrar las derivadas y también aplicar la regla de la cadena.
(Todos los términos de x deben diferenciarse directamente utilizando las fórmulas de la derivada; pero al diferenciar los términos de y, multiplique la derivada real por dy/dx)

En este ejemplo, d/dx (sen x) = cos x mientras que d/dx (sen y) = cos y (dy/dx).
Entonces el paso anterior se convierte en

(dy/dx) + (cos y) (dy/dx) = cos x
Paso - 3: Resolverlo para dy/dx.
Tomando dy/dx como factor común:
(dy/dx) (1 + cos y) = cos x
dy/dx = (cos x)/(1 + cos y)
Esta es la derivada implícita.

Fórmula de diferenciación implícita

Hemos visto los pasos para realizar la diferenciación implícita. ¿Nos hemos encontrado con alguna fórmula en particular a lo largo del camino? ¡¡¡No!!! No hay una fórmula particular para hacer la diferenciación implícita, más bien realizamos los pasos que se explican en el diagrama de flujo anterior para encontrar la derivada implícita.

Notas importantes sobre la diferenciación implícita:

La diferenciación implícita es el proceso de encontrar dy/dx cuando la función es de la forma f(x, y) = 0.
Para encontrar la derivada implícita dy/dx, sólo hay que diferenciar en ambos lados y resolver para dy/dx. Pero en este proceso, escribimos dy/dx siempre que estemos diferenciando y.
Todas las fórmulas y técnicas de la derivada deben utilizarse también en el proceso de diferenciación implícita.

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