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Derivada arcotangente

Derivada arcotangente
En trigonometría, arctan se refiere a la función tangente inversa. Las funciones trigonométricas inversas suelen ir acompañadas del prefijo – arctan. Matemáticamente, representamos el arctán o la función tangente inversa como tan-1 x o arctán(x). Al igual que hay un total de seis funciones trigonométricas, también hay 6 funciones trigonométricas inversas, a saber, sin-1x, cos-1x, tan-1x, cosec-1x, sec-1x y cot-1x. Arctan (tan-1x) no es lo mismo que 1 / tan x. Eso significa que una función trigonométrica inversa no es el recíproco de la función trigonométrica respectiva. El propósito de arctan es encontrar el valor de un ángulo desconocido utilizando el valor de la razón trigonométrica tangente. La navegación, la física y la ingeniería utilizan ampliamente la función arctán.

Derivada arcotangente

Arctan es una de las funciones importantes de la trigonometría inversa. En un triángulo rectángulo, el tan de un ángulo determina la relación entre la perpendicular y la base, es decir, "Perpendicular / Base". En cambio, el arctán de la relación "Perpendicular / Base" nos da el valor del ángulo correspondiente entre la base y la hipotenusa. Por tanto, arctan es la inversa de la función tan.

Si la tangente del ángulo θ es igual a x, es decir, x = tan θ, entonces tenemos θ = arctan(x). A continuación se presentan algunos ejemplos que pueden ayudarnos a entender cómo funciona la función arctan:

tan(π / 2) = ∞ ⇒ arctan(∞) = π/2
tan (π / 3) = √3 ⇒ arctan(√3) = π/3
tan (0) = 0 ⇒ arctan(0) = 0

Supongamos que tenemos un triángulo rectángulo. Sea θ el ángulo cuyo valor hay que determinar. Sabemos que tan θ será igual al cociente de la perpendicular y la base. Por tanto, tan θ = Perpendicular / Base. Para hallar θ utilizaremos la función arctán como, θ = tan-1[Perpendicular / Base].

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Fórmula del arctán

Como se ha comentado anteriormente, la fórmula básica del arctán viene dada por, arctán (Perpendicular/Base) = θ, donde θ es el ángulo entre la hipotenusa y la base de un triángulo rectángulo. Utilizamos esta fórmula para arctan para encontrar el valor del ángulo θ en términos de grados o radianes. También podemos escribir esta fórmula como θ = tan-1[Perpendicular / Base].

Identidades de Arctan

Hay varias fórmulas arctanas, identidades arctanas y propiedades que son útiles para resolver sumas simples y complicadas en trigonometría inversa. A continuación se indican algunas de ellas:

arctan(-x) = -arctan(x), para todo x ∈ R
tan (arctan x) = x, para todos los números reales x
arctan (tan x) = x, para x ∈ (-π/2, π/2)
arctan(1/x) = π/2 - arctan(x) = arccot(x), si x > 0 o,
arctan(1/x) = - π/2 - arctan(x) = arccot(x) - π, si x < 0
sin(arctan x) = x / √(1 + x2)
cos(arctan x) = 1 / √(1 + x2)

También tenemos ciertas fórmulas arctanas para π. Se dan a continuación.

π/4 = 4 arctan(1/5) - arctan(1/239)
π/4 = arctan(1/2) + arctan(1/3)
π/4 = 2 arctan(1/2) - arctan(1/7)
π/4 = 2 arctan(1/3) + arctan(1/7)
π/4 = 8 arctan(1/10) - 4 arctan(1/515) - arctan(1/239)
π/4 = 3 arctan(1/4) + arctan(1/20) + arctan(1/1985)

Dominio y rango de Arctan

Todas las funciones trigonométricas, incluida tan (x), tienen una relación de muchos a uno. Sin embargo, la inversa de una función sólo puede existir si tiene una relación de uno a uno y sobre. Por esta razón, el dominio de tan x debe ser restringido, de lo contrario la inversa no puede existir. En otras palabras, la función trigonométrica debe restringirse a su rama principal, ya que sólo deseamos un valor.

El dominio de tan x se restringe a (-π/2, π/2). Se han excluido los valores en los que cos(x) = 0. El rango de tan (x) son todos los números reales. Sabemos que el dominio y el rango de una función trigonométrica se convierten en el rango y el dominio de la función trigonométrica inversa, respectivamente. Así, podemos decir que el dominio de tan-1x son todos los números reales y el rango es (-π/2, π/2). Un hecho interesante es que podemos extender la función arctan a los números complejos. En tal caso, el dominio de arctan será todos los números complejos.

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