Fórmula de estimación puntual

La mayoría de las veces, los métodos existentes para hallar los parámetros de grandes poblaciones no son realistas. Por ejemplo, para hallar la edad media de los niños que asisten a la guardería, será imposible recoger la edad exacta de todos los niños de la guardería del mundo. En cambio, un estadístico puede utilizar el estimador puntual para realizar una estimación del parámetro de la población.

Propiedades de los estimadores puntuales

Las principales características de los estimadores puntuales son las siguientes

1. Sesgo
El sesgo de un estimador puntual se define como la diferencia entre el valor esperado del estimador y el valor del parámetro que se estima. Cuando el valor estimado del parámetro y el valor del parámetro que se está estimando son iguales, el estimador se considera insesgado.

Además, cuanto más cerca esté el valor esperado de un parámetro del valor del parámetro que se está midiendo, menor será el sesgo.

2. Consistencia
La consistencia nos indica lo cerca que se queda el estimador puntual del valor del parámetro a medida que aumenta su tamaño. El estimador puntual requiere un tamaño de muestra grande para que sea más consistente y preciso.

También se puede comprobar si un estimador puntual es consistente observando su valor esperado y su varianza correspondientes. Para que el estimador puntual sea consistente, el valor esperado debe acercarse al valor real del parámetro.

3. Más eficiente o insesgado
El estimador puntual más eficiente es el que tiene la menor varianza de todos los estimadores insesgados y consistentes. La varianza mide el nivel de dispersión de la estimación, y la menor varianza debería variar lo menos posible de una muestra a otra.

En general, la eficacia del estimador depende de la distribución de la población. Por ejemplo, en una distribución normal, la media se considera más eficiente que la mediana, pero no ocurre lo mismo en distribuciones asimétricas.

Estimación puntual frente a estimación por intervalos

Los dos tipos principales de estimadores en estadística son los estimadores puntuales y los estimadores de intervalo. La estimación puntual es lo contrario de la estimación por intervalos. Produce un único valor, mientras que la segunda produce un rango de valores.

Un estimador puntual es un estadístico utilizado para estimar el valor de un parámetro desconocido de una población. Utiliza los datos de la muestra para calcular un único estadístico que será la mejor estimación del parámetro desconocido de la población.

Por otro lado, la estimación por intervalos emplea los datos de la muestra para calcular el intervalo de los posibles valores de un parámetro desconocido de una población. El intervalo del parámetro se selecciona de forma que caiga dentro de una probabilidad del 95% o superior, también conocida como intervalo de confianza.

El intervalo de confianza se usa para indicar el grado de fiabilidad de una estimación, y se calcula a partir de los datos observados. Los puntos finales de los intervalos se denominan límites de confianza superior e inferior.

Métodos comunes para encontrar estimaciones puntuales

El proceso de estimación puntual implica emplear el valor de un estadístico que se obtiene a partir de los datos de la muestra para obtener la mejor estimación del correspondiente parámetro desconocido de la población. Se pueden utilizar varios métodos para calcular los estimadores puntuales, y cada método tiene diferentes propiedades.

1. Método de los momentos

El método de los momentos para estimar parámetros fue introducido en 1887 por el matemático ruso Pafnuty Chebyshev. Comienza por tomar hechos conocidos sobre una población y luego aplicar los hechos a una muestra de la población. El primer paso consiste en obtener ecuaciones que relacionen los momentos de la población con los parámetros desconocidos.

El siguiente paso es extraer una muestra de la población que se usará para estimar los momentos de la población. Las ecuaciones derivadas en el primer paso se resuelven utilizando la media muestral de los momentos poblacionales. Esto produce la mejor estimación de los parámetros poblacionales desconocidos.

2. Estimador de máxima verosimilitud

El método del estimador de máxima verosimilitud de la estimación puntual intenta encontrar los parámetros desconocidos que maximizan la función de verosimilitud. Toma un modelo conocido y utiliza los valores para comparar conjuntos de datos y encontrar el más adecuado para los datos.

Por ejemplo, un investigador puede estar interesado en conocer el peso medio de los bebés nacidos prematuramente. Como sería imposible medir a todos los bebés nacidos prematuramente en la población, el investigador puede tomar una muestra de un lugar.

Como el peso de los bebés prematuros sigue una distribución normal, el investigador puede emplear el estimador de máxima verosimilitud para encontrar el peso medio de toda la población de bebés prematuros basándose en los datos de la muestra.

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