Analisis

Función biyectiva

Funcion biyectiva
En matemáticas, una función biyectiva también se conoce como función de biyección o de correspondencia uno a uno. El término correspondencia uno a uno no debe confundirse con la función uno a uno (es decir, la función inyectiva).

Función biyectiva

Se dice que una función es biyectiva o biyección, si una función f: A → B satisface las propiedades de función inyectiva (función uno a uno) y función suryectiva (función onto). Esto significa que cada elemento "b" en el codominio B, hay exactamente un elemento "a" en el dominio A. tal que f(a) = b. Si la función satisface esta condición, entonces se conoce como correspondencia uno a uno.

Propiedades de las funciones biyectivas

Una función f: A → B es una función biyectiva si todo elemento b ∈ B y todo elemento a ∈ A, tal que f(a) = b. Se observa que el elemento "b" es la imagen del elemento "a", y el elemento "a" es la preimagen del elemento "b". Las propiedades básicas de la función biyectiva son las siguientes:

Mientras que el mapeo de las dos funciones, es decir, el mapeo entre A y B (donde B no necesita ser diferente de A) para ser una biyección,

  • cada elemento de A debe estar emparejado con al menos un elemento de B,
  • ningún elemento de A puede estar emparejado con más de un elemento de B,
  • cada elemento de B debe estar emparejado con al menos un elemento de A, y
  • ningún elemento de B puede estar emparejado con más de un elemento de A.

Función inyectiva

  • Una función que siempre asigna el elemento distinto de su dominio al elemento distinto de su codominio
  • También se conoce como función uno a uno
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Función suryectiva

  • Función que asigna uno o más elementos de A al mismo elemento de B
  • También se conoce como función onto

Función biyectiva

  • Una función que es a la vez inyectiva y suryectiva
  • También se conoce como correspondencia uno a uno

 

Ejemplo de función biyectiva

Demostrar que la función f(x) = 3x - 5 es una función biyectiva de R a R.

Solución:

Función dada: f(x) = 3x - 5

Demostrar: La función es biyectiva.

Según la definición de biyección, la función dada debe ser tanto inyectiva como sobreyectiva.

(i) Demostrar: La función es inyectiva

Para demostrarlo, debemos probar que f(a)=c y f(b)=c entonces a=b.

Tomemos,

f(a)=c y f(b)=c

Por lo tanto, se puede escribir como:

c = 3a-5 y c = 3b-5

Por lo tanto, se puede escribir como:

3a-5 = 3b -5

Simplificando la ecuación, obtendremos

a = b

Por lo tanto, la función dada es inyectiva

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