Analisis

Funciones simétricas

Funciones simetricas
Digamos que tenemos x1 y x2, y que son las raíces de la ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0, (a <> 0). Las expresiones de la forma x1 + x2, x12 + x22, x12 – x22, 1/x12 + 1/x22 y así sucesivamente se conocen como funciones de las raíces x1 y x2.

Cómo encontrar las raíces de un cuadrático

¿Cómo encontramos las raíces de una ecuación cuadrática? Tenemos que aplicar nuestros conocimientos sobre la resolución de cualquier ecuación cuadrática.

Funciones simétricas

Ahora, vamos a explorar cómo determinar si las raíces de una cuadrática pueden formar una función simétrica o no.

Si la función que utiliza las raíces de la cuadrática f(x1,x2) no cambia al intercambiar x1 y x2, entonces la función, f, es simétrica. En otras palabras, una expresión en x1 y x2, que permanece igual cuando se intercambian x1 y x2, se llama función simétrica en x1 y x2.

Para una ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0, (a <> 0) con raíces x1 y x2, tenemos

x1 + x2 = -b/a
x1*x2 = c/a

Estas dos propiedades se utilizan para formular funciones simétricas de las raíces de una ecuación cuadrática. Al formular esas funciones simétricas, las expresamos en términos de x1 + x2 y x1*x2.

Beneficios

Los beneficios de encontrar la simetría en una ecuación son:

  • entendemos mejor la ecuación
  • es más fácil de representar
  • puede ser más fácil de resolver. Cuando encontramos una solución en un lado, podemos decir "también, por simetría, el (valor reflejado)"

Cómo comprobar la simetría

A menudo podemos ver la simetría visualmente, pero para estar realmente seguros debemos comprobar un hecho sencillo:

¿La ecuación no cambia cuando se utilizan valores simétricos?

Leer  Cuartiles ejemplos

La forma de hacerlo depende del tipo de simetría:

Para la simetría respecto al eje Y

Para la simetría con respecto al eje Y, comprueba si la ecuación es la misma cuando sustituimos x por -x:

  • Ejemplo: ¿es y = x2 simétrica respecto al eje Y?

Intenta sustituir x por -x:

y = (-x)2

Como (-x)2 = x2 (multiplicar un negativo por un negativo da un positivo), no hay ningún cambio

Así que y = x2 es simétrico respecto al eje y

Para la simetría respecto al eje X

Utiliza la misma idea que para el eje Y, pero intenta sustituir y por -y.

  • Ejemplo: ¿es y = x3 simétrico respecto al eje x?

Intenta sustituir y por -y:

-y = x3

Ahora intenta obtener la ecuación original:

Intenta multiplicar ambos lados por -1:

y = -x3

Es diferente.

Así que y = x3 no es simétrica respecto al eje y

Simetría diagonal

Prueba a intercambiar y y x (es decir, sustituye y por x y x por y).

  • Ejemplo: ¿tiene y = 1/x Simetría Diagonal?

Empieza con

y = 1/x

Intenta intercambiar y con x:

x = 1/y

Ahora reordénalo: multiplica ambos lados por y:

xy = 1

Luego divide ambos lados por x

y = 1/x

Y tenemos la ecuación original. Son iguales.

Así que y = 1/x tiene Simetría Diagonal

Vídeos de Funciones simétricas

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