Que es una función discontinua

Una función discontinua es una función en álgebra que tiene un punto en el que, o bien la función no está definida en el punto, o bien el límite izquierdo y el límite derecho de la función son iguales pero no igualan el valor de la función en ese punto, o bien el límite de la función no existe en el punto dado. Las funciones discontinuas pueden tener diferentes tipos de discontinuidades, a saber, discontinuidades removibles, esenciales y de salto. Una función discontinua tiene huecos junto a su gráfica. En otras palabras, podemos decir que si una función no es continua, entonces se llama función discontinua. Las funciones discontinuas tienen huecos o saltos en sus gráficas.

Definición de función discontinua

Se dice que una función f es una función discontinua en un punto x = a en los siguientes casos:

• El límite izquierdo y el límite derecho de la función en x = a existen pero no son iguales.
• El límite izquierdo y el límite derecho de la función en x = a existen y son iguales pero no son iguales a f(a).
  f(a) no está definida.
• La gráfica de una función discontinua tiene al menos un salto, un agujero o un hueco. Algunos de los ejemplos de una función discontinua son

f(x) = 1/(x - 2)
f(x) = tan x
f(x) = x2 - 1, para x < 1 y f(x) = x3 - 5 para 1 < x < 2

Gráfica de una función discontinua

La gráfica de una función discontinua no se puede hacer con un bolígrafo sin levantar el bolígrafo. Para dibujar la gráfica de una función que es discontinua, una vez que bajamos el bolígrafo para dibujar la gráfica, debemos levantarlo al menos una vez antes de que la gráfica esté completa y luego continuar dibujando de nuevo. Una función discontinua tiene cortes o huecos en su curva. Por tanto, el rango de una función discontinua tiene al menos un hueco. Podemos identificar una función discontinua a través de su gráfica identificando donde la gráfica se rompe y tiene un hueco o un salto. En el siguiente apartado veremos la gráfica de una función discontinua correspondiente a diferentes tipos de discontinuidades.

Tipos de función discontinua

Ahora que conocemos la definición de función discontinua, vamos a entender los diferentes tipos de discontinuidades de una función:

• Discontinuidad removible: Para una función f, si el límite x→a f(x) existe (es decir, lim x→a- f(x) = lim x→a+ f(x)) pero NO es igual a f(a). Se denomina "discontinuidad removible".
• Discontinuidad de salto: Para una función f, si el límite izquierdo lim x→a- f(x) y el límite derecho lim x→a+ f(x) existen pero NO son iguales. Por tanto, el límite si la función f no existe. Entonces, x = a se llama 'discontinuidad de salto' (o) 'discontinuidad no removible'.
• Discontinuidad esencial: Los valores de uno o ambos límites lim x→a- f(x) y lim x→a+ f(x) son ± ∞. Se llama "discontinuidad infinita" o "discontinuidad esencial". En dicha discontinuidad también puede no existir uno de los dos límites izquierdo y derecho.

Notas importantes sobre la función discontinua

• Una función que no es continua es una función discontinua.
• Hay tres tipos de discontinuidades de una función: removible, de salto y esencial.
• Una función discontinua tiene rupturas o huecos en su gráfica.

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