Trigonometria

Ángulo doble

Ángulo doble
Las fórmulas del ángulo doble se utilizan para expresar las razones trigonométricas de los ángulos dobles (2θ) en términos de las razones trigonométricas del ángulo simple (θ). Las fórmulas de ángulos dobles son los casos especiales de (y por lo tanto se derivan de) las fórmulas de suma de la trigonometría y algunas fórmulas alternativas se derivan mediante el uso de las identidades pitagóricas.

Ángulo doble

sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B
cos (A + B) = cos A cos B - sin A sin B
tan (A + B) = (tan A + tan B) / (1 - tan A tan B)

¿Qué son las fórmulas del ángulo doble?

Derivaremos las fórmulas de ángulo doble de sin, cos y tan sustituyendo A = B en cada una de las fórmulas de suma anteriores. Además, derivaremos algunas fórmulas alternativas utilizando las identidades pitagóricas. Aquí están las fórmulas de los ángulos dobles seguidas de la derivación de cada fórmula.

Fórmulas de ángulos dobles de sin, cos y tan

Las fórmulas del ángulo doble de sin, cos y tan son,

sin 2A = 2 sin A cos A (o) (2 tan A) / (1 + tan2A)
cos 2A = cos2A - sin2A (o) 2cos2A - 1 (o) 1 - 2sin2A (o) (1 - tan2A) / (1 + tan2A)
tan 2A = (2 tan A) / (1 - tan2A)

Derivación de las fórmulas del ángulo doble

Vamos a derivar la(s) fórmula(s) del ángulo doble de cada uno de los sin, cos y tan uno por uno.

Fórmulas del doble ángulo de Sin

La fórmula de la suma de la función seno es

sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B

Cuando A = B, la fórmula anterior se convierte en

sin (A + A) = sin A cos A + cos A sin A

Leer  Relaciones trigonometricas

sin 2A = 2 sin A cos A

Derivemos una fórmula alternativa para sen 2A en términos de tan utilizando la identidad pitagórica sec2A = 1 + tan2A.

sin 2 A = 2 sin A cos A

Así, las fórmulas del doble ángulo de la función seno son

sin 2A = 2 sin A cos A (o) (2 tan A) / (1 + tan2A)

Fórmulas del doble ángulo del cos

La fórmula de la suma de la función coseno es

cos (A + B) = cos A cos B - sin A sin B

Cuando A = B, la fórmula anterior se convierte en

cos (A + A) = cos A cos A - sin A sin A

cos 2A = cos2A - sin2A

Usemos esto como fórmula base para derivar otras dos fórmulas de cos 2A usando la identidad pitagórica sin2A + cos2A = 1.

(i) cos 2A = cos2A - (1 - cos2A) = 2cos2A - 1

(ii) cos 2A = (1- sin2A) - sin2A = 1 - 2sin2A

Ahora, derivaremos la fórmula de cos 2A en términos de tan utilizando la fórmula base.

Así, las fórmulas del doble ángulo de la función coseno son

cos 2A = cos2A - sin2A (o) 2cos2A - 1 (o) 1 - 2sin2A (o) (1 - tan2A) / (1 + tan2A)

Fórmulas de doble ángulo de Tan

La fórmula de la suma de la función tangente es

tan (A + B) = (tan A + tan B) / (1 - tan A tan B)

Cuando A = B, la fórmula anterior se convierte en

tan (A + A) = (tan A + tan A) / (1 - tan A tan A) =(2 tan A) / (1 - tan2A)

Así, la fórmula del ángulo doble de la función tan es

tan 2A = (2 tan A) / (1 - tan2A)

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