Trigonometria

Derivada seno

Derivada seno
La fórmula de la derivada de sen x es una de las fórmulas de la diferenciación. Hay fórmulas específicas en diferenciación para encontrar las derivadas de diferentes tipos de funciones. Todas estas fórmulas se derivan básicamente de la definición de límite de la derivada (que se llama derivada por el primer principio). Aquí también vamos a demostrar que la derivada de sen x es -cos x utilizando el primer principio.

Derivada seno

La derivada de sen x con respecto a x es cos x. Se representa como d/dx(sen x) = cos x (o) (sen x)' = cos x. Es decir, la derivada de la función seno de una variable con respecto a la misma variable es la función coseno de la misma variable,

d/dy (sen y) = cos y
d/dθ (sin θ) = cos θ

Fórmula de la derivada de sen x

La derivada de sen x es cos x. Vamos a demostrarlo en cada uno de los siguientes métodos.

Por primer principio
Por la regla de la cadena
Por la regla del cociente

Derivada de Sin x Prueba por primer principio

La definición de límite de la derivada (primer principio) se utiliza para encontrar la derivada de cualquier función. Vamos a utilizar el primer principio para encontrar también la derivada de sen x. Para ello, supongamos que f(x) = sen x es la función a diferenciar. Entonces f(x + h) = sin(x + h). Ahora, por el primer principio, la definición de límite de la derivada de una función f(x) es

f'(x) = limₕ→₀ [f(x + h) - f(x)] / h

Sustituyendo aquí f(x) = sen x y f(x + h) = sen(x + h)

f'(x) = limₕ→₀ [sin(x + h) - sin x] / h

Podemos evaluar este límite por dos métodos.

Leer  Función trigonométrica inversa

Método 1

Por una de las fórmulas trigonométricas, sin C - sin D = 2 cos [(C + D)/2] sin [(C - D)/2]. Aplicando esto

f'(x) = limₕ→₀ [2 cos[(x + h + x)/2] sin[(x + h - x)/2] ] / h

= limₕ→₀ [2 cos[(2x + h)/2] sin (h/2) ] / h

= limₕ→₀ [cos[(2x + h)/2] - limₕ→₀ [sin (h/2) ] / (h/2)]

Como h → 0, (h/2) → 0. Por tanto

f'(x) = limₕ→₀ [cos[(2x + h + x)/2] - lim₍ₕ/₂₎→₀ [sin (h/2) ] / (h/2)]

Utilizando fórmulas de límite, lim ₓ→₀ (sin x/x) = 1. Así que

f'(x) = [cos[(2x + 0)/2] - (1) = cos (2x/2) = cos x

Así, hemos demostrado que la derivada de sen x es cos x.

Método 2

Por fórmulas de suma y diferencia,

sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B

Usando esto

f'(x) = limₕ→₀ [sen x cos h + cos x sen h - sen x] / h

= limₕ→₀ [ - sin x (1- cos h) + cos x sin h] / h

= limₕ→₀ [ - sin x (1 - cos h)]/h + limₕ→₀ (cos x sin h)/h

= -sin x limₕ→₀ (1 - cos h)/h + (cos x) limₕ→₀ sin h/h

Utilizando las fórmulas de medio ángulo, 1 - cos h = 2 sin2(h/2).

f'(x) = -sin x limₕ→₀ (2 sin2(h/2))/h + (cos x) limₕ→₀ sin h/h

= -sin x [limₕ→₀ (sin(h/2))/(h/2) - limₕ→₀ sin (h/2)] + (cos x) (limₕ→₀ sin h/h)

Sabemos que lim ₓ→₀ (sen x/x) = 1.

f'(x) = -sin x (1 - sin(0/2)) + cos x (1)

= -sin x(0) + cos x (De la tabla trigonométrica, sin 0 = 0)

= cos x

Por tanto, hemos deducido que la derivada de sen x es cos x.

Derivada de Sin x Prueba por la regla de la cadena

Por la regla de la cadena de la diferenciación, d/dx(f(g(x)) f'(g(x)) - g'(x). Así que para encontrar la derivada de sen x usando la regla de la cadena, debemos escribirla como una función compuesta. Utilizando una de las fórmulas trigonométricas, podemos escribir sen x como, sen x = cos (π/2 - x). Usando esto podemos encontrar la derivada de y = sin x (o) cos (π/2 - x).

Leer  Ángulo suplementario

Usando la regla de la cadena,

y' = - sin(π/2 - x) - d/dx (π/2 - x) (ya que la derivada de cos x es - sin x)

= - sin(π/2 - x) - (-1)

= sin(π/2 - x)

= cos x (Por una de las fórmulas trigonométricas).

Así, hemos derivado la fórmula de la derivada de sen x por la regla de la cadena.

Prueba de la derivada de sen x por la regla del cociente

La regla del cociente dice que d/dx (u/v) = (v u' - u v') / v2. Así que para encontrar la diferenciación de sen x usando la regla del cociente, tenemos que escribir sen x como una fracción. Sabemos que sin es el recíproco de la función cosecante (csc). es decir, y = sin x = 1/(csc x). Entonces, por la regla de la cadena

y' = [csc x - d/dx(1) - 1 - d/dx(csc x)] / csc2x

= [csc x (0) - 1 (-csc x cot x)] / csc2x (ya que la derivada de csc x es -csc x cot x]

= (cot x) / (csc x)

= [(cos x)/(sin x)] / [1/sin x]

= cos x

Por tanto, la derivada de sin es cos x y se demuestra utilizando la regla del cociente.

Derivada de la función compuesta Sin(u(x))

sin(u(x)) es una función compuesta y por lo tanto se puede escribir como sin(u(x)) = f(g(x)) donde g(x) = u(x) y f(x) = sen x. Entonces g'(x) = u'(x) y f'(x) = cos x. Sabemos que la derivada de una función compuesta se encuentra utilizando la regla de la cadena. Utilizando la regla de la cadena

d/dx (sin(u(x)) = f'(g(x)) - g'(x)

Como f'(x) = cos x y g(x) = u(x), tenemos f'(g(x)) = cos (u(x)). Así que

d/dx (sin(u(x)) = cos (u(x)) - u'(x)

Por tanto, la derivada de la función compuesta sin(u(x)) es cos (u(x)) - u'(x).

Notas importantes sobre la derivada de Sin x:

Leer  Teorema de la tangente

Aquí hay algunos puntos importantes a tener en cuenta de la diferenciación de sen x.

  • La derivada de sen x con respecto a x es cos x.
  • La derivada de sen u con respecto a x es, cos u - du/dx.
  • Sin x es máximo en x = π/2, 5π/2, .... y mínimo en x = 3π/2, 7π/2, ...
  • En todos estos puntos, la derivada de sen x es 0. es decir, en todos estos puntos cos x = 0.
  • La derivada de cos x NO es sin x, sino que es -sin x.

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