Analisis

Movimiento circular uniformemente acelerado

Movimiento circular uniformemente acelerado
El movimiento circular uniforme puede describirse como el movimiento de un objeto en un círculo a velocidad constante. Cuando un objeto se mueve en un círculo, cambia constantemente de dirección. En todo momento, el objeto se mueve tangente al círculo. Como la dirección del vector velocidad es la misma que la del movimiento del objeto, el vector velocidad también se dirige tangente al círculo. La animación de la derecha lo representa mediante una flecha vectorial. Un objeto que se mueve en un círculo está acelerando. Los objetos que se aceleran son objetos que cambian su velocidad, ya sea la velocidad (es decir, la magnitud del vector velocidad) o la dirección. Un objeto que experimenta un movimiento circular uniforme se mueve con una velocidad constante. Sin embargo, se acelera debido a su cambio de dirección. La dirección de la aceleración es hacia adentro. La animación de la derecha lo representa mediante una flecha vectorial. La última característica del movimiento de un objeto que experimenta un movimiento circular uniforme es la fuerza neta. La fuerza neta que actúa sobre dicho objeto se dirige hacia el centro del círculo. Se dice que la fuerza neta es una fuerza hacia adentro o centrípeta. Sin esta fuerza interna, el objeto continuaría en línea recta, sin desviarse nunca de su dirección. Sin embargo, con la fuerza neta hacia adentro dirigida perpendicularmente al vector velocidad, el objeto siempre está cambiando su dirección y sufriendo una aceleración hacia adentro.

Movimiento circular uniformemente acelerado

Un objeto que se mueve en un círculo de radio r con velocidad constante v está acelerando. La dirección de su vector velocidad cambia todo el tiempo, pero la magnitud del vector velocidad permanece constante. El vector aceleración no puede tener una componente en la dirección del vector velocidad, ya que dicha componente provocaría un cambio de velocidad. Por lo tanto, el vector aceleración debe ser perpendicular al vector velocidad en cualquier punto del círculo. Esta aceleración se llama aceleración radial o centrípeta, y apunta hacia el centro del círculo. La magnitud del vector aceleración centrípeta es ac = v2/r.

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En diferentes circunstancias, ¿cuál es la fuerza?

Resolvamos algunos problemas para investigar esta cuestión.

Problema:

Una masa de 3 kg unida a una cuerda ligera gira sobre una mesa horizontal sin fricción. El radio del círculo es de 0,8 m y la cuerda puede soportar una masa de 25 kg antes de romperse. ¿Qué rango de velocidades puede tener la masa antes de que se rompa la cuerda?

Una masa unida a una cuerda gira sobre una mesa horizontal y sin rozamiento.

Suponemos que la masa gira con velocidad uniforme. Se acelera. La dirección de la aceleración es hacia el centro del círculo y su magnitud es v2/r. Hay tensión en la cuerda. La cuerda tira de la masa con una fuerza F dirigida hacia el centro del círculo. Esta fuerza F es responsable de la aceleración centrípeta, F = mv2/r.

La cuerda puede soportar una masa de 25 kg antes de romperse, es decir, podemos dejar que una masa de hasta 25 kg cuelgue de la cuerda cerca de la superficie de la tierra. Por tanto, la tensión máxima de la cuerda es Fmax = mg = (25 kg)(9,8 m/s2) = 245 N.

Dado que Fmax = 245 N y F = mv2/r, podemos encontrar vmax.
Detalle del cálculo:
vmax2 = Fmaxr/m = (250 N)(0,8 m)/(3kg). vmax = 8,1 m/s.

Problema:
Una moneda colocada a 30 cm del centro de una plataforma giratoria horizontal se desliza cuando su velocidad es de 50 cm/s.
(a) ¿Qué fuerza proporciona la aceleración centrípeta cuando la moneda está inmóvil respecto a la plataforma giratoria?
(b) ¿Cuál es el coeficiente de fricción estática entre la moneda y la plataforma giratoria?

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Cuando la moneda está en reposo con respecto a la plataforma giratoria, la fuerza de fricción estática entre la moneda y la plataforma giratoria proporciona la aceleración centrípeta.
La fuerza de rozamiento estático tiene un valor máximo fs = μsN = μsmg.
Estableciendo μsmg = mv2/r, podemos resolver para μs.

Detalles del cálculo:
(a) La fuerza de fricción estática entre la moneda y la plataforma giratoria proporciona la aceleración centrípeta.
(b) La magnitud de la fuerza máxima de fricción estática es fs = μsN. Esta fuerza máxima de fricción estática es igual a mv2/r cuando v = 0,5 m/s. Tenemos μsN = μsmg = mv2/r,
o bien μs = v2/(rg) = (0,5m/s)2/(0,3m 9,8m/s2) = 0,085.

Problema:
Considere un péndulo cónico con una bobina de 80 kg sobre un cable de 10 m que forma un ángulo de θ = 5o con la vertical. Determine
(a) la componente horizontal y vertical de la fuerza ejercida por el hilo sobre el péndulo y
(b) la aceleración centrípeta de la varilla.

A la derecha se muestra un diagrama de cuerpo libre de la bobina.
La bola no cambia su posición vertical, y = constante, vy = ay = 0. La componente vertical de T debe tener una magnitud mg.
La componente horizontal de T proporciona la aceleración centrípeta (radial) ar.

(a) La componente vertical de T debe tener la magnitud mg.
Tcos(5o) = mg, T = (80 kg 9,8 m/s2)/cos(5o) = 787 N
La magnitud de la componente horizontal de T es Tsin(5o) = 68,6 N. La componente horizontal de la fuerza apunta hacia el centro del círculo.

(b) Tsin(5o) = mar, ar = (68,6 N)/(80 kg) = 0,857 m/s2.
La velocidad de la bobina se halla a partir de ar = v2/r, v = (arr)½.
Como r = (10 m)*sin(5o), tenemos v = 0,86 m/s.

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