Geometrìa

Ecuación general

Ecuación general
Las formas estándar de la ecuación de una recta son: Forma pendiente-intercepto, forma intercepto, forma normal

Ecuación general

La ecuación general de una recta en dos variables de primer grado se representa como

Ax + By +C = 0,

A, B ≠ 0 donde A, B y C son constantes que pertenecen a números reales.

Cuando representamos la ecuación en forma geométrica, siempre obtenemos una recta.

A continuación se representan las fórmulas de la recta en diferentes formas:

Forma de intersección de la pendiente

Sabemos que la ecuación de una recta en forma pendiente-intercepto viene dada como

y = mx + c

Donde m indica la pendiente de la recta y c es la intersección con y
Cuando B ≠ 0 entonces, la ecuación estándar de primer grado Ax + By + C = 0 puede reescribirse en forma pendiente-intercepto como:

y = (- A/B) x - (C/B)

Así, m= -A/B y c = -C/B

Forma de intercepción

El intercepto de una recta es el punto por el que la recta cruza el eje x o el eje y. Supongamos que una recta corta el eje x y el eje y en (a, 0) y (0, b), respectivamente. Entonces, la ecuación de una recta que tiene intersecciones iguales a y b en el eje x y en el eje y, respectivamente, viene dada por

x/a + y/b = 1

Ahora, en el caso de la forma general de la ecuación de la recta, es decir, Ax+By+C = 0, si C ≠ 0, entonces Ax + By + C = 0 puede escribirse como;

x/(-C/A) + y/(-C/B) = 1

donde a = -C/A y b = - C/B

 

Forma normal

La ecuación de la recta cuya longitud de la perpendicular desde el origen es p y el ángulo que forma la perpendicular con el eje x positivo viene dado por α viene dada por:

Leer  Semicircunferencia fórmula

x cos α+y sin α = p

Esto se conoce como la forma normal de la recta.

En el caso de la forma general de la recta Ax + By + C = 0 se puede representar en forma normal como:

A cos α = B sin α = - p

De aquí podemos decir que cos α = -p/A y sin α = -p/B.
También se puede deducir que

cos2α + sin2α = (p/A)2 + (p/B)2

1 = p2 (A2 + B2/A2 .B2)

De la ecuación general de una recta Ax + By + C = 0, podemos concluir lo siguiente:

  • La pendiente viene dada por -A/B, dado que B ≠ 0.
  • La intersección x viene dada por -C/A y la intersección y por -C/B.
  • De la discusión anterior se desprende que:
  • Si se dice que dos puntos (x1, y1) y(x2, y2)se encuentran en el mismo lado de la recta Ax + By + C = 0, entonces las expresiones Ax1+ By1 + C y Ax2 + By2 + C tendrán el mismo signo o de lo contrario estos puntos se encontrarían en los lados opuestos de la recta.

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