Geometrìa

Ecuación paramétrica de la circunferencia

Ecuacion parametrica de la circunferencia
Consideremos una circunferencia con radio r y centro en el origen. Sea P(x, y) un punto cualquiera de la circunferencia. Supongamos que OP forma un ángulo θ con la dirección positiva del eje x. Dibuja la perpendicular PM al eje x.

Ecuación paramétrica de la circunferencia

x/r = cosθ, y/r = sinθ

Aquí x e y son las coordenadas de cualquier punto del círculo. Nótese que estas dos coordenadas dependen de θ. El valor de r es fijo.

Las ecuaciones x = r cosθ, y = r sinθ se llaman ecuaciones paramétricas del círculo x2 + y2 = r2

Aquí 'θ' se llama el parámetro y 0 ≤ θ ≤ 2π

Pasos para hallar la ecuación de una circunferencia

Hemos visto diferentes formas de representar la ecuación de una circunferencia dependiendo de la posición del centro de la circunferencia en el plano cartesiano. Por lo tanto, para escribir la ecuación de una circunferencia, cuando se dan las coordenadas del centro, se pueden seguir los siguientes pasos:

Paso 1: Se calculan las coordenadas del centro de la circunferencia (x1, y1) y el radio de la circunferencia.
Paso 2: Con la ayuda de la fórmula de la circunferencia (x -x1)² + (y - y1)² = r², asigna los valores del radio y del centro de la circunferencia.
Paso 3: Tras simplificar la ecuación, se obtiene la ecuación del círculo.

Veamos ahora algunos problemas de ejemplo para encontrar la ecuación paramétrica del círculo.

Ejemplo 1 :

Encontrar las ecuaciones paramétricas de la circunferencia x2 + y2 = 16

Solución :

Aquí r2 = 16 ⇒ r = 4

Las ecuaciones paramétricas del círculo

x2 + y2 = r2 en el parámetro θ son x = r cosθ, y = r sin θ

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Las ecuaciones paramétricas del círculo dado x2 + y2 = 16 son

x = 4 cos θ, y = 4 sin θ y 0 ≤ θ ≤ 2π

Ejemplo 2 :

Halla la ecuación cartesiana de la circunferencia cuyas ecuaciones paramétricas son x = 2 cos θ, y = 2 sin θ, 0 ≤ θ ≤ 2π

Solución :

Para hallar la ecuación caretsiana de la circunferencia, elimina el parámetro 'θ' de las ecuaciones dadas,

cos θ = x/2 ; sin θ = y/2

cos2θ + sin2θ = 1

(x/2)2 + (y/2)2 = 1

x2 + y2 = 4 es la ecuación cartesiana requerida del círculo.

Ejemplo 3 :

Hallar la ecuación cartesiana de la circunferencia cuyas ecuaciones paramétricas son x = 1/4 cosθ, y = 1/4 sin θ y 0 ≤ θ ≤ 2π

Solución :

Para hallar la ecuación cartesiana de la circunferencia, elimina el parámetro 'θ' de las ecuaciones dadas,

x = (1/4) cosθ ; y = (1/4) sin θ

cosθ = 4x, sinθ = 4y

cos2θ + sin2θ = 1

(4x)2 + (4y)2 = 1

16x2 + 16y2 = 1

16x2 + 16y2 = 1 es la ecuación cartesiana requerida del círculo.

Ejemplo 4 :

Hallar la ecuación paramétrica de la circunferencia 4x2 + 4y2 = 9

Solución :

4x2 + 4y2 = 9

Dividir la ecuación entre 4

x2 + y2 = (9/4)

Aquí r2 = 9/4 ⇒ r = 3/2

Las ecuaciones paramétricas del círculo x2 + y2 = r2 en el parámetro θ son x = r cosθ, y = r sin θ

Las ecuaciones paramétricas del círculo dado

x = (3/2) cos θ, y = (3/2) sin θ y 0 ≤ θ ≤ 2π

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