Función y relación

Las funciones no son más que tipos especiales de relaciones que definen la correspondencia precisa entre una cantidad y otra.

¿Qué son las relaciones y las funciones?

Las relaciones y las funciones definen un mapeo entre dos conjuntos (Entradas y Salidas) tal que tienen pares ordenados de la forma (Entrada, Salida). La relación y la función son conceptos muy importantes en el álgebra. Se utilizan ampliamente tanto en matemáticas como en la vida real. Definamos cada uno de estos términos de relación y función para entender su significado.

La relación y la función se definen individualmente como

• Relaciones - Una relación R a partir de un conjunto no vacío B es un subconjunto del producto cartesiano A × B. El subconjunto se deriva describiendo una relación entre el primer elemento y el segundo elemento de los pares ordenados en A × B.
• Funciones - Se dice que una relación f de un conjunto A a un conjunto B es una función si cada elemento del conjunto A tiene una y solo una imagen en el conjunto B. En otras palabras, no hay dos elementos distintos de B que tengan la misma pre imagen.

Términos relacionados con la relación y la función

Ahora que hemos entendido el significado de relación y función, vamos a entender los significados de algunos términos relacionados con las relaciones y funciones que ayudarán a entender el concepto de una mejor manera:

• Producto cartesiano - Dados dos conjuntos no vacíos P y Q, el producto cartesiano P × Q es el conjunto de todos los pares ordenados de elementos de P y Q, es decir, P × Q = {(p, q) : p ∈ P, q ∈ Q}
• Dominio - El conjunto de todos los primeros elementos de los pares ordenados en una relación R de un conjunto A a un conjunto B se llama el dominio de la relación R. Se llama el conjunto de entradas o preimágenes.
• Rango - El conjunto de todos los segundos elementos de los pares ordenados en una relación R desde un conjunto A a un conjunto B se denomina rango de la relación R. Se denomina conjunto de salidas o imágenes.
• Codominio - El conjunto B de una relación R desde un conjunto A a un conjunto B se llama codominio de la relación R.
• Rango ⊆ Codominio

Tipos de relaciones y funciones

Existen diferentes tipos de relaciones y funciones que tienen propiedades específicas que las hacen diferentes y únicas. Repasemos la lista de tipos de relaciones y funciones que se da a continuación:

Tipos de relaciones

A continuación se muestra una lista de diferentes tipos de relaciones:

• Relación vacía - Una relación es una relación vacía si no tiene elementos, es decir, ningún elemento del conjunto A está mapeado o vinculado a ningún elemento de A. Se denota por R = ∅.
• Universal - Una relación R en un conjunto A es una relación universal si cada elemento de A está relacionado con cada elemento de A, es decir, R = A × A. Se llama relación completa.
• De identidad - Se dice que una relación R en A es una relación de identidad si cada elemento de A está relacionado consigo mismo, es decir, R = {(a, a) : para todo a ∈ A}
• Inversa - Defina R como una relación del conjunto P al conjunto Q, es decir, R ∈ P × Q. Se dice que la relación R-1 es una relación inversa si R-1 del conjunto Q a P se denota por R-1 = {(q, p): (p, q) ∈ R}.
• Reflexiva - Se dice que una relación binaria R definida sobre un conjunto A es reflexiva si, para cada elemento a ∈ A, tenemos aRa, es decir, (a, a) ∈ R.
• Simétrica - Una relación binaria R definida sobre un conjunto A se dice que es simétrica si y sólo si, para los elementos a, b ∈ A, tenemos aRb, es decir, (a, b) ∈ R, entonces debemos tener bRa, es decir, (b, a) ∈ R.
• Transitiva - Una relación R es transitiva si y sólo si (a, b) ∈ R y (b, c) ∈ R ⇒ (a, c) ∈ R para a, b, c ∈ A
• De equivalencia - Una relación R definida sobre un conjunto A se dice que es una relación de equivalencia si y sólo si es reflexiva, simétrica y transitiva.

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