Trigonometria

Calcular ángulos de un triangulo

Calcular ángulos de un triangulo
Antes de aprender las fórmulas para encontrar ángulos, veamos las situaciones en las que podemos necesitar utilizar estas fórmulas. Existen diferentes fórmulas para hallar ángulos en función de los datos disponibles. Para encontrar el ángulo que falta en un polígono, utilizamos la fórmula de la suma de los ángulos interiores. Para encontrar el ángulo que falta en un triángulo rectángulo, utilizamos las razones trigonométricas. Para encontrar los ángulos que faltan en un triángulo no rectángulo, utilizamos la ley de los senos y la ley de los cosenos.

Calcular ángulos de un triangulo

Suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados

180 (n-2) grados

Halla la suma de todos los ángulos interiores utilizando esta fórmula y réstale la suma de todos los ángulos conocidos para encontrar el ángulo interior desconocido.

sin, cos y tan

sin θ = opuesto / hipotenusa
cos θ = adyacente / hipotenusa
tan θ = opuesto / adyacente

Utiliza una de estas razones trigonométricas en función de los dos lados disponibles para encontrar el ángulo desconocido.

Ley de los senos

a/sin A = b/sin B = c/sin C

Aquí, A, B y C son los ángulos de un triángulo y a, b y c son sus respectivos lados opuestos.

La ley de los senos se utiliza para encontrar ángulos desconocidos cuando se nos dan
a) dos lados y un ángulo no incluido (o)
b) dos ángulos y un lado no incluido.

Ley de los cosenos

a2 = b2 + c2 - 2bc cos A
b2 = c2 + a2 - 2ca cos B
c2 = a2 + b2 - 2ab cos C

Aquí, A, B y C son los ángulos de un triángulo y a, b y c son sus respectivos lados opuestos.

Leer  Ángulo suplementario

La ley de los cosenos se utiliza para hallar los ángulos desconocidos cuando nos dan con
a) tres lados (o)
b) dos lados y el ángulo incluido.

Ejemplos que utilizan la fórmula para encontrar ángulos

  • Encuentra el quinto ángulo interior de un pentágono si cuatro de sus ángulos interiores son 108°, 120°, 143° y 97°.

Solución:

El número de lados de un pentágono es, n = 5.

La suma de los 5 ángulos interiores de un pentágono = 180 (n -2)° = 180 (5 - 2)° = 540°.

La suma de los 4 ángulos interiores dados = 108°+ 120°+ 143°+ y 97°= 468°.

Por tanto, el quinto ángulo interior = 540° - 468° = 72°.

Respuesta: El quinto ángulo interior del pentágono dado = 72°.

  • Encuentra el ángulo en el vértice C del siguiente triángulo utilizando una de las fórmulas para encontrar ángulos. Redondea tu respuesta al número entero más cercano.

Encontrar los ángulos que faltan en un triángulo

Solución:

Encontrar: El ángulo en C que es θ.

Se da que AB = 6 = Lado opuesto de θ.

BC = 8 = Lado adyacente de θ.

  • Como conocemos tanto los lados opuestos como los adyacentes de θ, utilizamos la fórmula de tan θ para hallar θ.

tan θ = opuesto/adyacente

tan θ = 6/8 = 0,75

θ = tan-1 (0,75)

Usando la calculadora,

θ ≈ 37° (redondeado al entero más cercano).

Respuesta: El ángulo en C es, θ = 37°

  • Encuentra el ángulo en el vértice A del siguiente triángulo utilizando una de las fórmulas para encontrar ángulos. Redondea tu respuesta a las décimas más cercanas.

Solución:

Hallar: El ángulo en A.

  • Sabemos que los lados opuestos a A, B y C están representados por a, b y c respectivamente. Así que tenemos:
Leer  Ángulo mitad

a = 10 in; b = 7 in; y c = 5 in.

Como conocemos los tres lados, tenemos que utilizar la ley de los cosenos para encontrar el ángulo en A.

a2 = b2 + c2 - 2bc cos A

102 = 72 + 52 - 2 (7)(5) cos A

100 = 49 + 25 - 70 cos A

100 = 74 - 70 cos A

70 cos A = 74 - 100

70 cos A = -26

cos A = -26 / 70

A = cos-1 (-26/70)

Utilizando la calculadora,

A ≈ 111,8° (redondeado a la décima más cercana).

Respuesta: El ángulo en A = 111,8°

 

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