Analisis

Aplicaciones de la derivada

Aplicaciones de la derivada
La derivada se define como la tasa de cambio de una cantidad con respecto a otra. En términos de funciones, la tasa de cambio de una función se define como dy/dx = f(x) = y’.

Aplicaciones de la derivada

Las derivadas tienen varias aplicaciones importantes en Matemáticas como:

  • Tasa de cambio de una cantidad
  • Funciones crecientes y decrecientes
  • Tangente y Normal a una Curva
  • Valores mínimos y máximos
  • Método de Newton
  • Aproximaciones lineales

Aplicaciones de las derivadas en matemáticas

El concepto de derivadas se ha utilizado a pequeña y gran escala. El concepto de derivadas se utiliza de muchas maneras, como el cambio de temperatura o la tasa de cambio de las formas y tamaños de un objeto en función de las condiciones, etc,

Tasa de cambio de una cantidad

Esta es la aplicación general y más importante de la derivada. Por ejemplo, para comprobar la tasa de cambio del volumen de un cubo con respecto a sus lados decrecientes, podemos utilizar la forma de la derivada como dy/dx. Donde dy representa la tasa de cambio del volumen del cubo y dx representa el cambio de los lados del cubo.

Funciones crecientes y decrecientes

Para encontrar que una función dada es creciente o decreciente o constante, digamos en una gráfica, utilizamos las derivadas. Si f es una función continua en [p, q] y diferenciable en el intervalo abierto (p, q), entonces

  • f es creciente en [p, q] si f'(x) > 0 para cada x ∈ (p, q)
  • f es decreciente en [p, q] si f'(x) < 0 para cada x ∈ (p, q)
  • f es una función constante en [p, q], si f'(x)=0 para cada x ∈ (p, q)
Leer  Asimetría y curtosis

Tangente y normal a una curva

La tangente es la recta que toca a la curva en un punto y no la cruza, mientras que la normal es la perpendicular a esa tangente.

Sea la tangente la que se encuentre con la curva en P(x1, y1).

Aplicación de las derivadas tangente y normal

Ahora la ecuación de la recta que pasa por un punto con pendiente m puede escribirse como

y - y1 = m(x - x1)

Podemos ver en la ecuación anterior, la pendiente de la tangente a la curva y = f(x) y en el punto P(x1, y1), viene dada como dy/dx en P(x1, y1) = f'(x). Por lo tanto,

La ecuación de la tangente a la curva en P(x1, y1) puede escribirse como

y - y1 = f'(x1)(x - x1)

La ecuación de la normal a la curva viene dada por;

y - y1 = [-1/ f'(x1)] (x - x1)

O

(y - y1) f'(x1) + (x-x1) = 0

Máximos y mínimos

Para calcular el punto más alto y más bajo de la curva en una gráfica o para conocer su punto de inflexión, se utiliza la función derivada.

  • Cuando x = a, si f(x) ≤ f(a) para todo x en el dominio, entonces f(x) tiene un valor Máximo Absoluto y el punto a es el punto del valor máximo de f.
  • Cuando x = a, si f(x) ≤ f(a) para todo x en algún intervalo abierto (p, q) entonces f(x) tiene un valor Máximo Relativo.
  • Cuando x= a, si f(x) ≥ f(a) para todo x en el dominio entonces f(x) tiene un valor Mínimo Absoluto y el punto a es el punto del valor mínimo de f.
  • Cuando x = a, si f(x) ≥ f(a) para todo x en algún intervalo abierto (p, q) entonces f(x) tiene un valor Mínimo Relativo.
Leer  Cuál es el dominio de una función

Monotonicidad

Se dice que las funciones son monótonas si son crecientes o decrecientes en todo su dominio. f(x) = ex, f(x) = nx, f(x) = 2x + 3 son algunos ejemplos.

Las funciones que son crecientes y decrecientes en su dominio se dicen no monótonas

Por ejemplo: f(x) = sen x , f(x) = x2

Monotonicidad de una función en un punto

Se dice que una función es monotónicamente decreciente en x = a si f(x) satisface

  • f(x + h) < f(a) para una pequeña h positiva
  • f'(x) será positiva si la función es creciente
  • f'(x) será negativa si la función es decreciente
  • f'(x) será cero cuando la función esté en sus máximos o mínimos

Aproximación o búsqueda de un valor aproximado

Para encontrar un cambio o variación muy pequeña de una cantidad, podemos utilizar las derivadas para dar el valor aproximado de la misma. El valor aproximado se representa por delta △.

Supongamos que el cambio en el valor de x, dx = x entonces

dy/dx = △x = x.

Como el cambio en x, dx ≈ x por lo tanto, dy ≈ y.

Punto de inflexión

Para una función continua f(x), si f'(x0) = 0 o f'"(x0) no existe en los puntos donde existe f'(x0) y si f"(x) cambia de signo al pasar por x = x0 entonces x0 se llama punto de inflexión.

(a) Si f"(x) < 0, x ∈ (a, b) entonces la curva y = f(x) en cóncava hacia abajo

(b) si f" (x) > 0, x ∈ (a, b) entonces la curva y = f(x) es cóncava hacia arriba en (a, b)

Por ejemplo: f(x) = sen x

Solución: f'(x) = cos x

f"(x) = sinx = 0 x = nπ, n ∈ z

Aplicación de las derivadas en la vida real

  • Para calcular las pérdidas y ganancias en los negocios mediante gráficas.
  • Para comprobar la variación de la temperatura.
  • Para determinar la velocidad o distancia recorrida como millas por hora, kilómetros por hora, etc.
  • Las derivadas se utilizan para derivar muchas ecuaciones en Física.
  • En el estudio de la Sismología como para encontrar el rango de magnitudes del terremoto.
Leer  Que es la media geometrica

Vídeos de Aplicaciones de la derivada

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