Relaciones trigonometricas

Las identidades trigonométricas son las igualdades que involucran a las funciones trigonométricas y se cumplen para cada valor de las variables involucradas, de manera que ambos lados de la igualdad están definidos. En esta minilección, exploraremos las identidades trigonométricas. Hay tres razones trigonométricas primarias sin, cos y tan. Las otras tres razones trigonométricas sec, cosec y cot en trigonometría son las recíprocas de sin, cos y tan respectivamente. ¿Cómo se relacionan estas razones trigonométricas (sen, cos, tan, sec, cosec y cot) entre sí? Están conectadas a través de las identidades trigonométricas (o, en pocas palabras, las identidades trigonométricas).

Relaciones trigonometricas

Las identidades trigonométricas son ecuaciones que se relacionan con diferentes funciones trigonométricas y son verdaderas para cualquier valor de la variable que esté en el dominio. Básicamente, una identidad es una ecuación que se cumple para todos los valores de la(s) variable(s) presentes en ella.

Por ejemplo, algunas de las identidades algebraicas son

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = a2 - 2ab+ b2
(a + b)(a-b)= a2 - b2

Las identidades algebraicas sólo relacionan las variables mientras que las identidades trigonométricas relacionan las 6 funciones trigonométricas seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente.

Identidades trigonométricas recíprocas

Ya sabemos que los recíprocos de seno, coseno y tangente son cosecante, secante y cotangente respectivamente.

Por lo tanto, las identidades recíprocas se dan como

sen θ = 1/cosecθ (O) cosec θ = 1/sinθ
cos θ = 1/secθ (O) sec θ = 1/cosθ
tan θ = 1/cotθ (O) cot θ = 1/tanθ

Identidades trigonométricas pitagóricas

Las identidades trigonométricas pitagóricas en trigonometría se derivan del teorema de Pitágoras. Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo de abajo, obtenemos

Leer Ángulo suma

Opuesto2 + Adyacente2 = Hipotenusa2

Dividiendo ambos lados por Hipotenusa2

Opuesto2/Hipotenusa2 + Adyacente2/Hipotenusa2 = Hipotenusa2/Hipotenusa2

sin2θ + cos2θ = 1

Esta es una de las identidades pitagóricas. Del mismo modo, podemos derivar otras dos identidades trigonométricas pitagóricas.

1 + tan2θ = sec2θ
1 + cot2θ = cosec2θ

Identidades trigonométricas complementarias y suplementarias

Los ángulos complementarios son un par de dos ángulos tales que su suma es igual a 90°. El complemento de un ángulo θ es (90 - θ). Las razones trigonométricas de los ángulos complementarios son

sin (90°- θ) = cos θ
cos (90°- θ) = sin θ
cosec (90°- θ) = sec θ
sec (90°- θ) = cosec θ
tan (90°- θ) = cot θ
cot (90°- θ) = tan θ

Los ángulos suplementarios son un par de dos ángulos tales que su suma es igual a 180°. El suplemento de un ángulo θ es (180 - θ). Las razones trigonométricas de los ángulos suplementarios son

sin (180°- θ) = sinθ
cos (180°- θ) = -cos θ
cosec (180°- θ) = cosec θ
sec (180°- θ)= -sec θ
tan (180°- θ) = -tan θ
cot (180°- θ) = -cot θ

Identidades trigonométricas de suma y diferencia

Las identidades de suma y diferencia incluyen las fórmulas de sen(A+B), cos(A-B), cot(A+B), etc.

sin (A+B) = sin A cos B + cos A sin B
sin (A-B) = sin A cos B - cos A sin B
cos (A+B) = cos A cos B - sin A sin B
cos (A-B) = cos A cos B + sin A sin B
tan (A+B) = (tan A + tan B)/(1 - tan A tan B)
tan (A-B) = (tan A - tan B)/(1 + tan A tan B)