Derivada de una resta

En cálculo, la regla de la resta en la diferenciación es un método para encontrar la derivada de una función que es la resta de otras dos funciones para las que existen derivadas. La regla de la resta en la integración se deriva de ella. La regla en sí es una consecuencia directa de la diferenciación.

Derivadas: definiciones, notación y reglas

Una derivada es una función que mide la pendiente. Depende de x de alguna manera y se encuentra diferenciando una función de la forma y = f (x). Cuando se sustituye x en la derivada, el resultado es la pendiente de la función original y = f (x).

Hay muchas formas diferentes de indicar la operación de diferenciación, también conocida como hallar o tomar la derivada. La elección de la notación depende del tipo de función que se evalúe y de las preferencias personales.

Supongamos que tenemos una función general: y = f(x). Todas las notaciones siguientes pueden leerse como "la derivada de y con respecto a x" o, menos formalmente, "la derivada de la función".

f'(x) f' y' df/dx dy/dx d/dx [f(x)]

Por ejemplo, lee "dx/dy =3x"

como: "la función que da la pendiente es igual a 3x"

Probemos algunos ejemplos. Supongamos que tenemos la función : y = 4x3 + x2 + 3.

Tras aplicar las reglas de diferenciación, llegamos al siguiente resultado

dy/dx = 12x2 + 2x

¿Cómo lo interpretamos? En primer lugar, decide qué parte de la función original (y = 4x3 + x2 + 3) te interesa. Por ejemplo, supongamos que queremos conocer la pendiente de y cuando la variable x toma un valor de 2. Sustituye x = 2 en la función de la pendiente y resuelve:

dy/dx = 12 ( 2 )2 + 2 ( 2 ) = 48 + 4 = 52

Por tanto, hemos comprobado que cuando x = 2, la función y tiene una pendiente de + 52.

Ahora vamos a la parte práctica. ¿Cómo determinamos realmente la función de la pendiente? Casi todas las funciones que verás en economía pueden diferenciarse utilizando una lista bastante corta de reglas o fórmulas, que se presentarán en las próximas secciones.

Cómo aplicar las reglas de la diferenciación

Una vez que entiendas que la diferenciación es el proceso de encontrar la función de la pendiente, la aplicación real de las reglas es sencilla.

Primero, una estrategia general. Las reglas se aplican a cada término de una función por separado. Luego se suman los resultados de la diferenciación de cada término, teniendo cuidado de conservar los signos. [Por ejemplo, la suma de 3x y 2x2 negativo es 3x menos 2x2].

No olvides que un término como "x" tiene un coeficiente de uno positivo. Los coeficientes y los signos deben llevarse correctamente en todas las operaciones, especialmente en la diferenciación.

Las reglas de diferenciación son acumulativas, en el sentido de que cuantas más partes tenga una función, más reglas habrá que aplicar. Empecemos con algunos ejemplos concretos y luego presentaremos las reglas generales en forma de tabla.

Tomemos la función simple: y = C, y dejemos que C sea una constante, como 15. La derivada de cualquier término constante es 0, según nuestra primera regla. Esto tiene sentido ya que la pendiente se define como el cambio en la variable y para un cambio dado en la variable x. Supongamos que x pasa de 10 a 11; y sigue siendo igual a 15 en esta función, y no cambia, por lo tanto la pendiente es 0. Observa que esta función se grafica como una línea horizontal.

Ahora, añade otro término para formar la función lineal y = 2x + 15. La siguiente regla establece que cuando la x está a la potencia de uno, la pendiente es el coeficiente en esa x. Esto sigue teniendo sentido, ya que un cambio en x se multiplica por 2 para determinar el cambio resultante en y. Añadimos esto a la derivada de la constante, que es 0 por nuestra regla anterior, y la pendiente de la función total es 2.

Supongamos ahora que la variable se lleva a alguna potencia superior. Entonces podemos formar una función no lineal típica como y = 5x3 + 10. La regla de la potencia combinada con la regla del coeficiente se utiliza de la siguiente manera: sacamos el coeficiente, lo multiplicamos por la potencia de x, y luego multiplicamos ese término por x, llevado a la potencia de n - 1. Por lo tanto, la derivada de 5x3 es igual a (5)(3)(x)(3 - 1); simplificamos para obtener 15x2. Añadimos a la derivada de la constante que es 0, y la derivada total es 15x2.

Observa que aún no conocemos la pendiente, sino la fórmula de la misma. Para una x dada, como x = 1, podemos calcular la pendiente como 15. En términos más sencillos, cuando x es igual a 1, la función ( y = 5x3 + 10) tiene una pendiente de 15.

Estas reglas cubren todos los polinomios, y ahora añadimos algunas reglas para tratar otros tipos de funciones no lineales. No es tan obvio por qué la aplicación del resto de las reglas sigue dando como resultado la búsqueda de una función para la pendiente, y en una clase de cálculo normal te lo demostrarías a ti mismo repetidamente. Aquí queremos centrarnos en la aplicación económica del cálculo, así que nos fiaremos de la palabra de Newton de que las reglas funcionan, memorizaremos algunas y seguiremos con la economía. El paso más importante para el resto de las reglas es identificar correctamente la forma, o cómo se combinan los términos, y luego la aplicación de la regla es sencilla.

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