Geometrìa

Teorema de altura

Teorema de altura
La media geométrica (o media proporcional) aparece en dos teoremas populares relativos a los triángulos rectángulos. El teorema de la media geométrica (o teorema de la altitud) afirma que la altitud a la hipotenusa de un triángulo rectángulo forma dos triángulos que son semejantes entre sí y al triángulo original. Esto se debe a que todos tienen los mismos tres ángulos, como podemos ver en las siguientes imágenes:

Teorema de altura

Esto significa que si tomamos un triángulo rectángulo (ABC) sentado en su hipotenusa (lado largo) y luego ponemos una línea de altitud que divide el triángulo en otros dos triángulos rectángulos más pequeños (CAD y CDB), utilizando la media geométrica tenemos la siguiente ecuación:

Por ello, el teorema de la media geométrica se conoce también como teorema de la altitud del triángulo rectángulo (o regla de la altitud), ya que relaciona la altura o altitud (h) del triángulo rectángulo y los catetos de dos triángulos semejantes al ABC principal, al graficar la altura h sobre la hipotenusa, afirmando que en todo triángulo rectángulo, la altura o altitud (h) relativa a la hipotenusa es la media geométrica de las dos proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa (n y m).

Veamos el siguiente triángulo rectángulo y la fórmula que obtenemos aplicando el teorema de la media geométrica:

Así que la principal aplicación de este teorema es calcular la altura (h) del triángulo rectángulo a partir de los segmentos en los que se divide la hipotenusa (n y m). Y si conocemos la hipotenusa y la altura (h), se puede calcular el área del triángulo rectángulo.

Leer  Ángulo entre dos rectas

Teorema de la media geométrica del cateto (o regla del cateto)

El cateto de un triángulo rectángulo es la media geométrica entre la hipotenusa y la proyección del cateto sobre la hipotenusa, es decir, cada cateto del triángulo es la media proporcional entre la hipotenusa y la parte de la hipotenusa situada directamente debajo del cateto:

En todo triángulo rectángulo, un cateto (a o b) es la media geométrica entre la hipotenusa (c) y la proyección de ese cateto sobre ella (n o m).

Podemos ver una aplicación del teorema de la media geométrica de los catetos o regla de los catetos cuando necesitamos encontrar la altura de un triángulo rectángulo dados sólo los catetos del triángulo.

¿Cómo encontrar la altitud de un triángulo rectángulo dados los catetos?

Aplicando la regla de los catetos a la fórmula de la altitud que tenemos en el teorema de la media geométrica o regla de la altitud, podemos obtener la altitud del triángulo rectángulo conociendo sus tres lados:

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