Teorema de la tangente

La tangente a una circunferencia se define como una línea recta que toca la circunferencia en un único punto. El punto en el que la tangente toca una circunferencia se conoce como punto de tangencia o punto de contacto.

Por otro lado, una secante es una cuerda extendida o una línea recta que cruza un círculo en dos puntos distintos.

Teorema de la tangente a una circunferencia

El teorema de la tangente afirma que una recta es tangente a una circunferencia si y sólo si la recta es perpendicular al radio trazado hasta el punto de tangencia.

Propiedades de una tangente

• Una tangente sólo puede tocar una circunferencia en un punto de la misma.
• Una tangente nunca cruza una circunferencia, lo que significa que no puede pasar por ella.
• Una tangente nunca cruza la circunferencia en dos puntos.
• La recta tangente es perpendicular al radio de una circunferencia.

El radio de la circunferencia OP es perpendicular a la recta tangente RS.

La longitud de dos tangentes desde un punto exterior común a una circunferencia es igual.

Longitud PR = Longitud PQ

¿Cómo encontrar la tangente de una circunferencia?

Supongamos que la línea DB es la secante y AB es la tangente del círculo, entonces las de la secante y la tangente se relacionan como sigue

DB/AB = AB/CB

La multiplicación cruzada de la ecuación da.

AB2 = DB * CB ............ Esto da la fórmula de la tangente.

Ejemplos de Teorema de la tangente

• Halla la longitud de la tangente en la circunferencia que se muestra a continuación.

Solución

El diagrama anterior tiene una tangente y una secante.

Dadas las siguientes longitudes:

PQ = 10 cm y QR = 18 cm,

Por tanto, PR = PQ + QR = (10 + 18) cm

= 28 cm.

⇒ SR2 = PR * RQ

⇒ SR2 = 28 * 18

⇒ SR2 = 504 cm

⇒ √SR2 = √504

⇒ SR = 22,4 cm

Por tanto, la longitud de la tangente es de 22,4 cm.

• Halla la longitud de la tangente en el siguiente diagrama, dado que AC = 6 m y CB = 10 m.

Solución

Dado que el radio del círculo es perpendicular a la tangente, el triángulo ABC es un triángulo rectángulo (ángulo A = 90 grados).

Por el teorema de Pitágoras

⇒ AB2 + AC2 = CB2

⇒ AB2 + 62 = 102

⇒ AB2 + 36 = 100

Resta 36 en ambos lados.

⇒ AB2 = 100 - 36

⇒ AB2 = 64

√AB2 = √64

AB = 8.

Por tanto, la longitud de la tangente es de 8 metros.

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