Aplicaciones de la derivada

Las derivadas tienen varias aplicaciones importantes en Matemáticas como:

• Tasa de cambio de una cantidad
• Funciones crecientes y decrecientes
• Tangente y Normal a una Curva
• Valores mínimos y máximos
• Método de Newton
• Aproximaciones lineales

Aplicaciones de las derivadas en matemáticas

El concepto de derivadas se ha utilizado a pequeña y gran escala. El concepto de derivadas se utiliza de muchas maneras, como el cambio de temperatura o la tasa de cambio de las formas y tamaños de un objeto en función de las condiciones, etc,

Tasa de cambio de una cantidad

Esta es la aplicación general y más importante de la derivada. Por ejemplo, para comprobar la tasa de cambio del volumen de un cubo con respecto a sus lados decrecientes, podemos utilizar la forma de la derivada como dy/dx. Donde dy representa la tasa de cambio del volumen del cubo y dx representa el cambio de los lados del cubo.

Funciones crecientes y decrecientes

Para encontrar que una función dada es creciente o decreciente o constante, digamos en una gráfica, utilizamos las derivadas. Si f es una función continua en [p, q] y diferenciable en el intervalo abierto (p, q), entonces

• f es creciente en [p, q] si f'(x) > 0 para cada x ∈ (p, q)
• f es decreciente en [p, q] si f'(x) < 0 para cada x ∈ (p, q)
• f es una función constante en [p, q], si f'(x)=0 para cada x ∈ (p, q)

Tangente y normal a una curva

La tangente es la recta que toca a la curva en un punto y no la cruza, mientras que la normal es la perpendicular a esa tangente.

Sea la tangente la que se encuentre con la curva en P(x1, y1).

Aplicación de las derivadas tangente y normal

Ahora la ecuación de la recta que pasa por un punto con pendiente m puede escribirse como

y - y1 = m(x - x1)

Podemos ver en la ecuación anterior, la pendiente de la tangente a la curva y = f(x) y en el punto P(x1, y1), viene dada como dy/dx en P(x1, y1) = f'(x). Por lo tanto,

La ecuación de la tangente a la curva en P(x1, y1) puede escribirse como

y - y1 = f'(x1)(x - x1)

La ecuación de la normal a la curva viene dada por;

y - y1 = [-1/ f'(x1)] (x - x1)

O

(y - y1) f'(x1) + (x-x1) = 0

Máximos y mínimos

Para calcular el punto más alto y más bajo de la curva en una gráfica o para conocer su punto de inflexión, se utiliza la función derivada.

• Cuando x = a, si f(x) ≤ f(a) para todo x en el dominio, entonces f(x) tiene un valor Máximo Absoluto y el punto a es el punto del valor máximo de f.
• Cuando x = a, si f(x) ≤ f(a) para todo x en algún intervalo abierto (p, q) entonces f(x) tiene un valor Máximo Relativo.
• Cuando x= a, si f(x) ≥ f(a) para todo x en el dominio entonces f(x) tiene un valor Mínimo Absoluto y el punto a es el punto del valor mínimo de f.
• Cuando x = a, si f(x) ≥ f(a) para todo x en algún intervalo abierto (p, q) entonces f(x) tiene un valor Mínimo Relativo.

Monotonicidad

Se dice que las funciones son monótonas si son crecientes o decrecientes en todo su dominio. f(x) = ex, f(x) = nx, f(x) = 2x + 3 son algunos ejemplos.

Las funciones que son crecientes y decrecientes en su dominio se dicen no monótonas

Por ejemplo: f(x) = sen x , f(x) = x2

Monotonicidad de una función en un punto

Se dice que una función es monotónicamente decreciente en x = a si f(x) satisface

• f(x + h) < f(a) para una pequeña h positiva
• f'(x) será positiva si la función es creciente
• f'(x) será negativa si la función es decreciente
• f'(x) será cero cuando la función esté en sus máximos o mínimos

Aproximación o búsqueda de un valor aproximado

Para encontrar un cambio o variación muy pequeña de una cantidad, podemos utilizar las derivadas para dar el valor aproximado de la misma. El valor aproximado se representa por delta △.

Supongamos que el cambio en el valor de x, dx = x entonces

dy/dx = △x = x.

Como el cambio en x, dx ≈ x por lo tanto, dy ≈ y.

Punto de inflexión

Para una función continua f(x), si f'(x0) = 0 o f'"(x0) no existe en los puntos donde existe f'(x0) y si f"(x) cambia de signo al pasar por x = x0 entonces x0 se llama punto de inflexión.

(a) Si f"(x) < 0, x ∈ (a, b) entonces la curva y = f(x) en cóncava hacia abajo

(b) si f" (x) > 0, x ∈ (a, b) entonces la curva y = f(x) es cóncava hacia arriba en (a, b)

Por ejemplo: f(x) = sen x

Solución: f'(x) = cos x

f"(x) = sinx = 0 x = nπ, n ∈ z

Aplicación de las derivadas en la vida real

• Para calcular las pérdidas y ganancias en los negocios mediante gráficas.
• Para comprobar la variación de la temperatura.
• Para determinar la velocidad o distancia recorrida como millas por hora, kilómetros por hora, etc.
• Las derivadas se utilizan para derivar muchas ecuaciones en Física.
• En el estudio de la Sismología como para encontrar el rango de magnitudes del terremoto.

Vídeos de Aplicaciones de la derivada