Circuncentro de un triángulo

El circuncentro del triángulo se puede encontrar como la intersección de las bisectrices perpendiculares (es decir, las líneas que están en ángulo recto con el punto medio de cada lado) de todos los lados del triángulo. Esto significa que las bisectrices del triángulo son concurrentes (es decir, se encuentran en un punto). Todos los triángulos son cíclicos y, por tanto, pueden circunscribir una circunferencia, por lo que todo triángulo tiene un circuncentro. Para construir el circuncentro de cualquier triángulo, se trazan las bisectrices de dos lados cualesquiera de un triángulo.

Definición de circuncentro

El circuncentro es el punto central de la circunferencia trazada alrededor de un polígono. La circunferencia de un polígono es el círculo que pasa por todos sus vértices y el centro de ese círculo se llama circuncentro. Todos los polígonos que tienen circunferencias se conocen como polígonos cíclicos. Sin embargo, no es necesario que todos los polígonos tengan una circunferencia. Sólo los polígonos regulares, los triángulos, los rectángulos y los cometas rectos pueden tener la circunferencia y, por tanto, el circuncentro.

Construir el circuncentro de un triángulo

Para construir el circuncentro del triángulo, utilizamos un instrumento geométrico llamado compás. El compás consta de dos extremos, uno de los cuales se coloca en la hipotenusa del triángulo y el segundo en el vértice del triángulo. Los pasos para construir un circuncentro de triángulo son

• Paso 1: Trazar las bisectrices perpendiculares de todos los lados del triángulo utilizando un compás.
• Paso 2: Extiende todas las bisectrices perpendiculares para que se encuentren en un punto. Marca el punto de intersección como O, este es el circuncentro.
• Paso 3: Utilizando un compás y manteniendo O como centro y cualquier vértice del triángulo como punto de la circunferencia, dibujar un círculo, este círculo es nuestra circunferencia cuyo centro es O.

Propiedades del circuncentro del triángulo

Un circuncentro de triángulo tiene muchas propiedades, echemos un vistazo:

Consideremos un ΔABC cualquiera con circuncentro O.

Propiedad 1: Todos los vértices del triángulo son equidistantes del circuncentro. Observemos la siguiente imagen para entenderlo mejor. Une O con los vértices del triángulo.

AO = BO = CO. Por lo tanto, los vértices del triángulo son equidistantes del circuncentro.

Propiedad 2. Todos los nuevos triángulos formados al unir O con los vértices son triángulos isósceles.

Propiedad 3. ∠BOC = 2 ∠A cuando ∠A es agudo o cuando O y A están en el mismo lado de BC.

Propiedad 4. ∠BOC = 2( 180° - ∠A) cuando ∠A es obtuso o cuando O y A están en distintos lados de BC.

Propiedad 5. La ubicación del circuncentro es diferente para los distintos tipos de triángulos.

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