Fórmula de heron

La fórmula de Herón es una fórmula para calcular el área de los triángulos, dados los tres lados del triángulo. Esta fórmula también se utiliza para encontrar el área del cuadrilátero, dividiendo el cuadrilátero en dos triángulos, a lo largo de su diagonal.

Si a, b y c son los tres lados de un triángulo, respectivamente, la fórmula de Herón viene dada por:

Semiperímetro, s= Perímetro del triángulo/2 = (a+b+c)/2

Historia de la fórmula de Herón

Héroe de Alejandría fue un gran matemático que derivó la fórmula para el cálculo del área de un triángulo utilizando la longitud de los tres lados. También extendió esta idea para encontrar el área de cuadriláteros y también de polígonos de orden superior. Esta fórmula tiene sus enormes aplicaciones en trigonometría, como la demostración de la ley de los cosenos o la ley de las cotangentes, etc.

Fórmula de Herón para los triángulos

Según Heron, podemos encontrar el área de cualquier triángulo dado, ya sea escaleno, isósceles o equilátero, utilizando la fórmula, siempre que los lados del triángulo.

Supongamos un triángulo ABC, cuyos lados son a, b y c, respectivamente. Así, el área de un triángulo puede venir dada por;

¿Cómo encontrar el área mediante la fórmula de Herón?

Para encontrar el área de un triángulo utilizando la fórmula de Herón, tenemos que seguir dos pasos:

• Encontrar el perímetro del triángulo dado
• A continuación, encontrar el valor del semiperímetro del triángulo dado; S = (a+b+c)/2
• Ahora utiliza la fórmula de Herón para encontrar el área de un triángulo (√(s(s - a)(s - b)(s - c))
• Por último, representa el área con las unidades cuadradas precisas (como m2, cm2, in2, etc.)

Fórmula de Herón para el triángulo equilátero

Como sabemos el triángulo equilátero tiene todos sus lados iguales. Para encontrar el área del triángulo equilátero encontremos primero el semiperímetro del triángulo equilátero será

s = (a+a+a)/2

s=3a/2

donde a es la longitud del lado.

Ahora, según la fórmula de la garza, sabemos;

Ya que, a = b = c

Por lo tanto,

A = √[s(s-a)3]

que es la fórmula requerida.

Fórmula de Herón para el triángulo isósceles

Un triángulo isósceles tiene dos de sus lados iguales y los ángulos correspondientes a estos lados son congruentes. Para encontrar el área de un triángulo isósceles, podemos derivar la fórmula de Herón como se indica a continuación:

Sea a la longitud de los lados congruentes y b la longitud de la base.

Semi-perímetro (s) = (a + a + b)/2

s = (2a + b)/2

Utilizando la fórmula de la garza de un triángulo,

Área = √[s(s - a)(s - b)(s - c)]

Sustituyendo los lados de un triángulo isósceles,

Área = √[s(s - a)(s - a)(s - b)]

= √[s(s - a)2(s - b)]

O

= (s - a)√[s(s - b)]

que es la fórmula necesaria para encontrar el área del triángulo isósceles dado.

Fórmula de Herón para el triángulo escaleno

Como sabemos, un triángulo escaleno tiene los tres lados desiguales, por lo tanto, podemos utilizar directamente la fórmula original de Herón para encontrar el área.

Área del triángulo escaleno = √s(s-a)(s-b)(s-c),

donde s = (a + b + c)/2

Fórmula de Herón para el cuadrilátero

Aprendamos a encontrar el área de un cuadrilátero utilizando la fórmula de Herón.

Si ABCD es un cuadrilátero, donde AB||CD y AC & BD son las diagonales.

AC divide el cuadrilátero ABCD en dos triángulos ADC y ABC.

Ahora tenemos dos triángulos.

Área del cuadrado ABCD = Área de ∆ADC + Área de ∆ABC

Por lo tanto, si conocemos las longitudes de todos los lados de un cuadrilátero y la longitud de la diagonal AC, podemos utilizar la fórmula de Heron para encontrar el área total.

Por lo tanto, primero encontraremos el área de ∆ADC y el área de ∆ABC utilizando la fórmula de Heron y, por último, los sumaremos para obtener el valor final.

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