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Matriz simétrica

Matriz simétrica
Una matriz simétrica y una matriz asimétrica son matrices cuadradas. Pero la diferencia entre ellas es que la matriz simétrica es igual a su transposición, mientras que la matriz asimétrica es una matriz cuya transposición es igual a su negativo. Si A es una matriz simétrica, entonces A = AT y si A es una matriz asimétrica, entonces AT = – A.

Matriz simétrica

Para saber si una matriz es simétrica, es muy importante conocer la transposición de una matriz y cómo encontrarla. Si intercambiamos filas y columnas de una matriz m×n para obtener una matriz n × m, la nueva matriz se llama transpuesta de la matriz dada. Hay dos posibilidades para el número de filas (m) y columnas (n) de una matriz dada:

  • Si m = n, la matriz es cuadrada
  • Si m ≠ n, la matriz es rectangular

Una matriz se llama simétrica si su transposición es igual a la propia matriz. Sólo una matriz cuadrada es simétrica porque en el álgebra lineal las matrices iguales tienen dimensiones iguales.

¿Cómo se sabe si una matriz es simétrica? En general, la matriz simétrica se define como

A = AT

Donde A es una matriz cualquiera, y AT es su transpuesta.

Si aij denota las entradas de una fila i y una columna j, entonces la matriz simétrica se representa como

aij = aji

Donde todas las entradas de una matriz simétrica son simétricas con respecto a la diagonal principal.

Matriz simétrica y matriz simétrica oblicua

Para el segundo caso, la transposición de una matriz nunca puede ser igual a ella. Esto se debe a que, para la igualdad, el orden de las matrices debe ser el mismo. Por lo tanto, el único caso en el que la transposición de una matriz puede ser igual a ella, es cuando la matriz es cuadrada. Pero esta es solo la primera condición. Incluso si la matriz es cuadrada, su transpuesta puede o no ser igual a ella.

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Propiedades de las matrices simétricas

  • La suma y la diferencia de dos matrices simétricas da como resultado una matriz simétrica.
  • Si A y B son dos matrices simétricas y siguen la propiedad conmutativa, es decir, AB =BA, entonces el producto de A y B es simétrico.
  • Si la matriz A es simétrica, entonces An también lo es, siendo n un número entero.
  • Si A es una matriz simétrica, entonces A-1 también es simétrica.

¿Qué es la transposición de una matriz?

Se dice que una matriz "M" es la transposición de una matriz si se intercambian las filas y las columnas de una matriz. En este caso, la primera fila se convierte en la primera columna, y la segunda fila se convierte en la segunda columna y así sucesivamente. La transposición de una matriz se da como "MT ".

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