Tipos de discontinuidad de una función

Se denomina discontinuidad de una función al punto en el que un objeto matemático es discontinuo. En otras palabras, la discontinuidad es una rama cortada a lo largo del eje real negativo del logaritmo natural para los complejos.

Para la función dada y = f(x), el punto x=a es un punto de discontinuidad si la función no es continua en este punto.

Una función se llama discontinua en un punto si se da alguna de las siguientes situaciones

• Cuando la función no está definida en el punto dado.
• Cuando la función no tiene límite en el punto dado.
• Cuando la función está definida y tiene un límite en ese punto.

Sin embargo, el valor de la función no es igual al valor del límite.La continuidad y discontinuidad de una función se puede explicar con la ayuda del siguiente ejemplo:

Se puede decir que una función f(x) es continua en un punto particular de x =a, silim xa- f(x) = lim xa+ f(x) = f(a)En la ecuación anterior, se puede decir que la función f(x) es continua en el conjunto particular de puntos sólo cuando el valor del límite de la función dada es igual al valor de f(a), y se dice que la función es continua en el punto de x =a.

Pero se dice que la función es discontinua en el punto x =a, mientras tenga las siguientes condiciones: Si el valor límite de xa- f(x) y el valor límite de xa+ f(x) existen pero no tienen el mismo valor, entonces se dice que la función es discontinua.

Si el valor límite de xa- f(x) y el valor límite de xa+ f(x) existen y tienen el mismo valor pero no son iguales al valor de f(a) entonces se dice que la función es discontinua.Al menos uno o más de uno de los límites no existe entonces también se dice que la función es discontinua.

Si la función f(a) no está definida, entonces en esta condición se dice que la función es discontinua.Todo número racional es continuo excepto si tiene su denominador 0, ya que se convierte en discontinuo si el denominador es 0.

Algunas propiedades de una función que es discontinua

Hay muchas propiedades que demuestran que una función es discontinua, pero las dos más importantes son las siguientes:

• El límite de la función en un punto discontinuo e incluso en la función más discontinua es indefinido. Sin embargo, esto no es cierto en algunos casos, ya que el límite puede ser redefinido, pero aún así se dice que es discontinua.
• En todos los casos, la función puede romperse en un punto concreto o en varios puntos, porque las funciones discontinuas tienen puntos en los que se rompen y se recogen en otro lugar.

Tipos de discontinuidades

En la función pueden darse varios tipos de discontinuidades que pueden distinguirse fácilmente entre sí en una función f dada:

• Discontinuidad removible
• Discontinuidad de Punto Perdido
• Discontinuidad de punto aislado
  • Discontinuidad no removible
    • Discontinuidad de tipo finito
    • Discontinuidad de tipo infinito
  • Discontinuidad Oscilante

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