Analisis

Derivada de cosecante

Derivada de cosecante
La derivada de cosec x es el negativo del producto de las funciones trigonométricas cosec x y cot x, es decir, -cosec x cot x. La diferenciación de csc x es el proceso de evaluar la derivada de cosec x con respecto al ángulo x. Antes de demostrar la diferenciación de cosec x, recordemos la definición de cosec x (también escrita como csc x). Cosec x es el cociente entre la hipotenusa y los lados perpendiculares de un triángulo rectángulo.

Derivada de cosecante

La diferenciación de cosec x con respecto al ángulo x se escribe como d(cosec x)/dx = (cosec x)' = -cot x cosec x. La derivada de cosec x se puede calcular utilizando la derivada de sen x. La diferenciación de cosec x se puede hacer de diferentes maneras. La derivada de cosec x se puede derivar utilizando la definición del límite, la regla de la cadena y la regla del cociente. Utilizamos las identidades trigonométricas existentes y las reglas de diferenciación existentes para demostrar que la derivada de cosec x es -cot x cosec x.

Fórmula de la derivada de Csc x

La fórmula de la derivada de cosec x se escribe como

  • d(cosec x)/dx = -cot x cosec x
  • (cosec x)' = -cot x cosec x
  • derivada de cosec x

Derivada del cosec x Prueba por primer principio

Ahora derivaremos la derivada de cosec x por el primer principio de las derivadas, es decir, la definición de límites. Una derivada es simplemente una medida de la tasa de cambio. Para encontrar la derivada de cosec x, tomamos el valor límite a medida que x se aproxima a x + h. Para simplificar esto, fijamos x = x + h, y queremos tomar el valor límite a medida que h se aproxima a 0. Vamos a utilizar ciertas fórmulas de trigonometría para determinar la derivada de csc x.

Leer  Limites exponenciales

Derivada de csc x Prueba por la regla de la cadena

La regla de la cadena para la diferenciación es: (f(g(x))' = f'(g(x)) . g'(x). Para ello observemos que podemos escribir y = cosec x como y = 1 / (sen x) = (sen x)-1. Ahora, para evaluar la derivada de csc x utilizando la regla de la cadena, utilizaremos ciertas propiedades e identidades trigonométricas como

d(sen x)/dx = cos x
cos x/ sin x = cot x

Podemos proceder utilizando la regla de la cadena.

Dado que y = cosec x = 1 / sinx = (sinx)-1 [ utilizando las razones trigonométricas cosec x = 1/ sin x]

⇒ dy / dx = -(sin x) -2 × [ d (sin x)/ dx ] [ de la regla de la cadena ]

⇒ dy / dx = (cos x) × (sin-2 x) [ ya que d (sin x)/ dx = cos x ]

⇒ dy / dx = - (cos x / sin x) × (1 / sin x) [ al repartir el denominador ]

⇒ dy / dx = - (cot x cosec x) [ ya que cos x / sin x = cot x y 1 / sin x = cosec x ]

Por lo tanto, hemos derivado la derivada de cosec x para que sea -cot x cosec x utilizando la regla de la cadena.

Derivada de cosec x por la regla del cociente

La regla del cociente para la diferenciación es: (f/g)' = (f'g - fg')/g2. Para derivar la derivada del cosec x, utilizaremos las siguientes fórmulas:

d(sen x)/dx = cos x
cos x /sin x = cot x
1/sin x = cosec x

Para empezar, d(cosec x)/dx = d(1/sin x)/dx

= (1' sin x - (sin x)' 1)/sin2x

= (0. sin x - cos x)/sin2x

= -cos x/sin2x

= (-cos x/sin x)(1/sin x)

= -cot x cosec x

Por lo tanto, hemos derivado la derivada de csc x utilizando la regla del cociente.

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