Función inyectiva

En una función inyectiva, cada elemento de un conjunto dado está relacionado con un elemento distinto de otro conjunto. Se define que una función f : X → Y es unívoca (o inyectiva), si las imágenes de elementos distintos de X bajo f son distintas, es decir, para cada x1, x2 ∈ X, existen y1, y2 ∈ Y distintos, tales que f(x1) = y1, y f(x2) = y2.

La función inyectiva puede representarse en forma de ecuación o de conjunto de elementos. La función f(x) = x + 5, es una función unívoca. Esto se puede entender tomando los cinco primeros números naturales como elementos del dominio de la función. La función f = {(1, 6), (2, 7), (3, 8), (4, 9), (5, 10)} es una función inyectiva.

Las siguientes imágenes en formato de diagrama de Venn ayudan a encontrar y entender fácilmente la función inyectiva. Podemos observar que cada elemento del conjunto A es mapeado a un único elemento del conjunto B. Además, si cualquier elemento del conjunto B es imagen de más de un elemento del conjunto A, entonces no es una función unívoca o inyectiva.

Propiedades de las funciones inyectivas

Las siguientes son algunas propiedades importantes de las funciones inyectivas.

• El dominio y el rango de una función inyectiva son conjuntos equivalentes.
• Los conjuntos que representan el dominio y el rango de la función inyectiva tienen un número cardinal igual.
• Las funciones inyectivas si se representan en forma de gráfica es siempre una recta.
• La función inyectiva sigue una propiedad reflexiva, simétrica y transitiva.

Ejemplos de función inyectiva

• Demostrar que la función que relaciona los nombres de 30 alumnos de una clase con sus respectivos números de lista es una función inyectiva.

Solución:

Dado que el dominio representa los 30 alumnos de una clase y los nombres de estos 30 alumnos. El rango representa los números de lista de estos 30 alumnos. Aquí no hay dos alumnos que tengan el mismo número de matrícula. Por lo tanto, la función que conecta los nombres de los alumnos con sus números de matrícula es una función uno a uno o una función inyectiva.

• Las dos funciones f(x) = x + 1, y g(x) = 2x + 3, son funciones uno a uno. Encuentra gof(x), y muestra también si esta función es una función inyectiva.

Solución:

las funciones dadas son f(x) = x + 1, y g(x) = 2x + 3. Tenemos que combinar estas dos funciones para encontrar gof(x).

g(f(x)) = g(x + 1) = 2(x + 1) + 3 = 2x + 2 + 3 = 2x + 5

gof(x) = 2x + 5

Tomemos ahora los cinco primeros números naturales como dominio de esta función compuesta.

gof(1) = 2(1) + 5 = 2 + 5 = 7

gof(2) = 2(2) + 5 = 4 + 5 = 9

gof(3) = 2(3) + 5 = 6 + 5 = 11

gof(4) = 2(4) + 5 = 8 + 5 = 13

gof(5) = 2(5) + 5 = 10 + 5 = 15

gof(x) = {(1, 7), (2, 9), (3, 11), (4, 13), (5, 15)}.

Aquí el elemento distinto en el dominio de la función tiene imagen distinta en el rango.

Por lo tanto, la función es una función inyectiva.

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