Analisis

Límites de funciones

Limites de funciones
Un límite es un cálculo matemático que nos indica el valor que asume una expresión/función matemática a medida que la variable independiente se acerca a un determinado valor.

Límites de funciones

Sea una función `f(x`) definida en un intervalo abierto en la vecindad del número "a".
Si a medida que `x` se aproxima a "a" tanto por la izquierda como por la derecha de "a", `f(x`)se aproxima a un número específico "L", entonces "L" se llama límite de `f(x)` a medida que `x` se aproxima a a.

Simbólicamente,
El límite se expresa de la siguiente manera:
`Lim_(x->a) f(x) = L `

Y se lee como "Límite de `f(x)` a medida que `x-> `a es L" .

Bajo esta definición de límite de una función, podemos clasificar los límites en estos tres tipos:

Límite de una función cuando X se aproxima a alguna constante fija
Límite de una función cuando X se aproxima al infinito +ve/-ve
Límite de una función cuando X se aproxima a 0

Existen algunos teoremas fundamentales sobre los límites de las funciones. Presentamos aquí sus breves enunciados.

Teoremas fundamentales sobre límites de funciones

1. Tengamos dos funciones `u` y `v` para las que
Lim_(x->a) u(x)= P` y `Lim_(x->a) v(x) = Q` entonces
`Lim_(x->a) [u(x) + v(x)] `= `Lim_(x->a) u(x) `+ `Lim_(x->a) v(x) `= P + Q

  • Encontrar el límite de `Lim_(x->4) (x + 6)`

Explicación:
`Lim_(x->4) (x + 6)` = `Lim_(x->4) x` + `Lim_(x->4) 6` = 4 + 6 = 10

  • Encontrar el límite de `Lim_(x->4) (x - 6)`

Explicación:
`Lim_(x->4) (x - 6)` = `Lim_(x->4) X` - `Lim_(x->4) 6` = 4 - 6 = -2

Límites de la forma `( 0 )/( 0 ))`

En Cálculo, muchas veces se da una situación en la que al poner el valor de `x` se obtiene una expresión de la forma `( 0 )/( 0 )`. Cuando se da esta situación, utilizamos el método de simplificación para factorizar las expresiones del numerador y del denominador para ver si hay un factor común a ambas. Si existe tal factor común, los anulamos y normalmente nos quedamos con una expresión en la que al poner el límite no nos da la forma ` ( 0 )/( 0 ) `. Aquí hemos presentado algunos ejemplos de esta situación:

  • Hallar `Lim_(x->1) ( x^2 - 1 )/(x^2- x )`
Leer  Intervalos de crecimiento y decrecimiento

Explicación:

`Lim_(x->1) ( x^2 - 1 )/(x^2- x )`= `((1)^2 - 1 )/((1)^2- 1 )`= ` ( 0 )/( 0 ) `

De ahí que intentemos factorizar los términos.

` Lim_(x->1) ( x^2 - 1 )/(x^2- x )= Lim_(x->1) ((x -1)(x+1) )/(x( x-1) )= Lim_(x->1)( (x+1) )/(x ) = ( (1+1) )/1 = 2 `

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