Límites indeterminados

En el análisis matemático, especialmente en el cálculo, cuando los límites que implican expresiones algebraicas u otras funciones algebraicas no proporcionan resultados suficientes y significativos, llamamos a tales resultados formas indeterminadas de límites.

Formas indeterminadas del tipo ∞/∞

Otra situación en la que un límite no es aparente ocurre cuando buscamos una asíntota horizontal de la función y necesitamos evaluar el límite.

limx→∞ ln(x)/x-1

No es obvio cómo evaluar este límite porque tanto el numerador como el denominador se hacen grandes a medida que x→∞. Hay una lucha entre el numerador y el denominador. Si el numerador gana, el límite será ∞; si el denominador gana, la respuesta será 0. O puede haber algún compromiso, en cuyo caso la respuesta será algún número positivo finito.

En general, si tenemos un límite de la forma limx→a f(x)/g(x) donde tanto f(x)→∞ (o-∞) como g(x)→∞ (o-∞) a medida que x→a, entonces este límite puede existir o no y se llama forma indeterminada de tipo ∞/∞.

¿Qué es la regla de L'Hopital?

La Regla de L'Hopital dice que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas, siempre que se cumplan las condiciones dadas. Supongamos que f y g son diferenciables y g′(x) ≠ 0 cerca de a (excepto posiblemente en a). Supongamos que

limx→a f(x)/g(x)

Donde:

limx→a f(x) = 0 y limx→a g(x) = 0
limx→a f(x) = ±∞ y limx→a g(x) = ±∞
Es decir, tenemos una forma indeterminada de tipo 0/0 o ∞/∞
Entonces

limx→a f(x)/g(x) = limx→a f′(x)/g′(x)

Si el límite del lado derecho existe (o es ∞ o -∞)

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