Teorema de tales fórmula

El teorema de Tales establece que:

Si tres puntos A, B y C se encuentran en la circunferencia de un círculo, siendo la línea AC el diámetro del círculo, entonces el ángulo ∠ABC es un ángulo recto (90°).

El diámetro de una circunferencia siempre subtiende un ángulo recto con cualquier punto de la circunferencia.

Has observado que el teorema de Tales es un caso especial del teorema del ángulo inscrito (el ángulo central = el doble del ángulo inscrito).

El teorema de Tales se atribuye a Tales, un matemático y filósofo griego afincado en Mileto. Tales inició y formuló el Estudio Teórico de la Geometría para hacer de la astronomía una ciencia más exacta.

Hay múltiples formas de demostrar el Teorema de Tales. Podemos utilizar técnicas de geometría y álgebra para demostrar este teorema. Por lo tanto, como este es un tema de geometría, veamos el método más básico a continuación.

¿Cómo resolver el Teorema de Tales?

Para demostrar el teorema de Tales, dibujar una bisectriz perpendicular de ∠.
Sea el punto M el punto medio de la recta AC.
Sea también ∠MBA = ∠BAM = β y ∠MBC =∠BCM =α
Línea AM = MB = MC = el radio del círculo.
ΔAMB y ΔMCB son triángulos isósceles.

Por el teorema de la suma de triángulos,

∠BAC +∠ACB +∠CBA = 180°

β + β + α + α = 180°

Factoriza la ecuación.

2 β + 2 α = 180°

2 (β + α) = 180°

Divide ambos lados por 2.

β + α = 90°.

Por tanto, ∠ABC = 90°, por lo que se ha demostrado

Vamos a resolver algunos problemas de ejemplo que implican el teorema de Tales.

Ejemplo de teorema de Tales

• Dado que el punto O es el centro de la circunferencia que se muestra a continuación, encuentra el valor de x.

Solución

Dado que la recta XY es el diámetro de la circunferencia, entonces por el teorema de Tales

∠XYZ = 90°.

Suma de los ángulos interiores de un triángulo = 180°

90° + 50° + x =180°

Simplifica.

140° + x =180°

Resta 140° a ambos lados.

x = 180° - 140°

x = 40°.

Por tanto, el valor de x es 40 grados.

• Si el punto D es el centro de la circunferencia que se muestra a continuación, calcula el diámetro de la circunferencia.

Solución

Por el teorema de Tales, el triángulo ABC es un triángulo rectángulo donde ∠ACB = 90°.

Para hallar el diámetro de la circunferencia, aplica el teorema de Pitágoras.

CB2 + AC2 =AB2

82 + 62 = AB2

64 + 36 = AB2

100 = AB2

AB = 10

Por lo tanto, el diámetro del círculo es de 10 cm

• Halla la medida del ángulo PQR en la circunferencia que se muestra a continuación. Supongamos que el punto R es el centro de la circunferencia.

Solución

Los triángulos RQS y PQR son triángulos isósceles.

∠RQS =∠RSQ =64°

Por el teorema de Tales, ∠PQS = 90°

Entonces, ∠PQR = 90° - 64°

= 26°

Por tanto, la medida del ángulo PQR es 26°.

• ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera sobre la definición del teorema de Tales?

A. El ángulo central es el doble de la medida del ángulo inscrito

B. Un ángulo inscrito en una semicircunferencia será un ángulo recto.

C. El diámetro de un círculo es la cuerda más larga.

D. El diámetro de una circunferencia es el doble de la longitud del radio.

Solución

La respuesta correcta es:

B. Un ángulo inscrito en una semicircunferencia será un ángulo recto.

En la circunferencia que se muestra a continuación, la línea AB es el diámetro de la circunferencia con centro C.

Encuentra la medida de ∠ BCE.
∠ DCA
∠ ACE
∠ DCB

Solución

• El triángulo dado ACE es un triángulo isósceles,

∠ CEA =∠ CAE = 33°

Por tanto, ∠ ACE =180° - (33° + 33°)

∠ ACE = 114°

Pero los ángulos en una recta = 180°

Por lo tanto, ∠ BCE = 180° - 114°

= 66°

El triángulo ADC es un triángulo isósceles, por tanto, ∠ DAC =20°

Por el teorema de la suma de triángulos, ∠DCA = 180° - (20° + 20°)

∠ DCA = 140°

∠ DCB = 180° - 140°

= 40°

• Cuál es la medida de ∠ABC?

Solución

El teorema de Tales establece que BAC = 90°

Y por el teorema de la suma de triángulos,

∠ABC + 40° + 90° = 180°

∠ABC = 180° - 130°

= 50°

• Halla la longitud de AB en la circunferencia que se muestra a continuación.

Solución

El triángulo ABC es un triángulo rectángulo.

Aplica el teorema de Pitágoras para encontrar la longitud de AB.

AB2 + 122 = 182

AB2 + 144 = 324

AB2 = 324 - 144

AB2 = 180

AB = 13,4

Por tanto, la longitud de AB es de 13,4 cm.

Aplicaciones del teorema de Tales

En geometría, ninguno de los temas carece de utilidad en la vida real. Por lo tanto, el Teorema de Thales también tiene algunas aplicaciones:

• Podemos trazar con precisión una tangente a una circunferencia utilizando el Teorema de Thales. Para ello, podemos utilizar un cuadrado de la circunferencia.
• Podemos encontrar con precisión el centro del círculo utilizando el Teorema de Thales. Las herramientas utilizadas para esta aplicación son una escuadra y una hoja de papel. En primer lugar, hay que situar el ángulo en la circunferencia -las intersecciones de dos puntos con la circunferencia indican el diámetro-. Puedes repetir esta operación utilizando otro par de puntos, lo que te dará otro diámetro. La intersección de los diámetros te dará el centro de la circunferencia.

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