Derivada de secante

Podemos encontrarla usando varias formas como

• utilizando el primer principio
• utilizando la regla del cociente
• utilizando la regla de la cadena

La derivada de sec x con respecto a x es sec x - tan x. Es decir, es el producto de sec x y tan x. Denotamos la derivada de sec x con respecto a x con d/dx(sec x) (o) (sec x)'. Por lo tanto

d/dx (sec x) = sec x - tan x (o)
(sec x)' = sec x - tan x

La derivada de sec x es el producto de sec x y tan x.

Derivada de sec x por la regla del cociente

Demostraremos que la diferenciación de sec x con respecto a x da sec x - tan x mediante la regla del cociente. Para ello, supondremos que f(x) = sec x y se puede escribir como f(x) = 1/cos x.

Prueba:

Tenemos f(x) = 1/cos x = u/v

Por la regla del cociente,

f'(x) = (vu' - uv') / v2

f'(x) = [cos x d/dx(1) - 1 d/dx(cos x)] / (cos x)2

= [cos x (0) - 1 (-sin x)] / cos2x

= (sen x) / cos2x

= 1/cos x - (sin x)/(cos x)

= sec x - tan x

Por lo tanto, se ha demostrado.

Derivada de sec x por la regla de la cadena

Para demostrar que la derivada de sec x es sec x - tan x por regla de la cadena, supondremos que f(x) = sec x = 1/cos x.

Prueba:

Podemos escribir f(x) como

f(x) = 1/cos x = (cos x)-1

Por la regla de la potencia y la regla de la cadena,

f'(x) = (-1) (cos x)-2 d/dx(cos x)

Por una propiedad de los exponentes, a-m = 1/am. Además, sabemos que d/dx(cos x) = - sin x. Por tanto

f'(x) = -1/cos2x - (- sin x)

= (sen x) / cos2x

= 1/cos x - (sin x)/(cos x)

= sec x - tan x

Por lo tanto, se ha demostrado.

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