Parabola

Tipo de funciones

Una parábola es la gráfica de una función cuadrática. Pascal afirmó que una parábola es una proyección de un círculo. Galileo explicó que los proyectiles que caen bajo el efecto de la gravedad uniforme siguen una trayectoria llamada parábola. Muchos movimientos físicos de los cuerpos siguen una trayectoria curvilínea que tiene forma de parábola. En matemáticas, se llama parábola a cualquier curva plana que es simétrica a un espejo y que suele tener una forma aproximada de U.

Una parábola se refiere a la ecuación de una curva, tal que un punto de la curva es equidistante de un punto fijo, y una línea fija. El punto fijo se llama foco de la parábola, y la recta fija se llama directriz de la parábola. Además, un punto importante a tener en cuenta es que el punto fijo no se encuentra en la recta fija. El lugar geométrico de cualquier punto que equidista de un punto dado (foco) y de una recta dada (directriz) se llama parábola. La parábola es una curva importante de las secciones cónicas de la geometría de coordenadas.

Ecuación de la parábola

La ecuación general de una parábola es: y = a(x-h)2 + k o x = a(y-k)2 +h, donde (h,k) denota el vértice. La ecuación estándar de una parábola regular es y2 = 4ax.

Algunos de los términos importantes que aparecen a continuación son útiles para entender las características y partes de una parábola.

Foco: El punto (a, 0) es el foco de la parábola
Directriz: La línea paralela al eje y que pasa por el punto (-a, 0) es la directriz de la parábola. La directriz es perpendicular al eje de la parábola.
Cuerda focal: La cuerda focal de una parábola es la cuerda que pasa por el foco de la parábola. La cuerda focal corta a la parábola en dos puntos distintos.
Distancia focal: La distancia de un punto [Error de procesamiento matemático] de la parábola, desde el foco, es la distancia focal. La distancia focal es también igual a la distancia perpendicular de este punto a la directriz.
Latus Rectum: Es la cuerda focal que es perpendicular al eje de la parábola y pasa por el foco de la misma. La longitud del latus rectum se toma como LL' = 4a. Los puntos extremos del latus rectum son (a, 2a), (a, -2a).
Excentricidad: (e = 1). Es la relación entre la distancia de un punto al foco, y la distancia del punto a la directriz. La excentricidad de una parábola es igual a 1.

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Ecuaciones estándar de una parábola

Hay cuatro ecuaciones estándar de una parábola. Las cuatro formas estándar se basan en el eje y la orientación de la parábola. El eje transversal y el eje conjugado de cada una de estas parábolas son diferentes. La siguiente imagen presenta las cuatro ecuaciones y formas estándar de la parábola.

Las siguientes son las observaciones realizadas a partir de la forma estándar de las ecuaciones:

La parábola es simétrica con respecto a su eje. Si la ecuación tiene el término con y2, entonces el eje de simetría está a lo largo del eje x y si la ecuación tiene el término con x2, entonces el eje de simetría está a lo largo del eje y.
Cuando el eje de simetría está a lo largo del eje x, la parábola se abre hacia la derecha si el coeficiente de la x es positivo y se abre hacia la izquierda si el coeficiente de la x es negativo.
Cuando el eje de simetría está a lo largo del eje y, la parábola se abre hacia arriba si el coeficiente de y es positivo y se abre hacia abajo si el coeficiente de y es negativo.

Fórmula de la parábola

La fórmula de la parábola ayuda a representar la forma general de la trayectoria parabólica en el plano. Las siguientes son las fórmulas que se utilizan para obtener los parámetros de una parábola.

La dirección de la parábola está determinada por el valor de a.