Teorema de pappus

El tema de la Geometría Proyectiva, por ejemplo, es la incidencia de los objetos geométricos: puntos, líneas, planos. La incidencia (un punto sobre una línea, una línea que pasa por un punto) se conserva mediante transformaciones proyectivas, pero las medidas no. Por lo tanto, en la Geometría Proyectiva se evita por completo la noción de medida, lo que convierte el término -Geometría Proyectiva- en un oxímoron.

En la Geometría Proyectiva, las secciones cónicas (círculos, elipses, parábolas e hipérbolas) son indistinguibles. Tal vez, sólo por esta razón, algunos renunciarían al estudio de la Geometría Analítica en favor de su prima proyectiva. Sin embargo, incluso sin medidas, la Geometría Proyectiva no es sencilla ni carece de contenido. El siguiente applet ilustra uno de los resultados geométricos más sorprendentes, probablemente descubierto por Pappus de Alejandría (siglo III d.C.), considerado el último de los grandes geómetras griegos.

Sean tres puntos A, B, C incidentes en una misma recta y otros tres puntos a,b,c incidentes en (en general) otra recta. Entonces tres intersecciones pares 1 = Bc∩bC, 2 = Ac∩aC, y 3 = Ab∩aB son incidentes en una (tercera) recta.

(Se dice que un punto y una recta son incidentes si la recta pasa por el punto o, equivalentemente, si el punto se encuentra sobre la recta).

La segunda característica destacable de la configuración es que es autodual. La dualidad es importante para la geometría proyectiva. Dos afirmaciones que sólo tratan de la incidencia de puntos y líneas se llaman duales si una se obtiene de la otra simplemente intercambiando las palabras punto y línea. Por ejemplo, el dual del teorema de Pappus es

Sean tres rectas A, B, C incidentes en un mismo punto y otras tres rectas a,b,c incidentes en (en general) otro punto. Entonces tres intersecciones pares 1 = Bc∩bC, 2 = Ac∩aC, y 3 = Ab∩bA son incidentes en un (tercer) punto.

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