Ecuación ordinaria

Las notaciones utilizadas para las derivadas en estas ecuaciones diferenciales ordinarias son dy/dx = y', d2y/dx2 = y'', d3y/dx3 = y''', dny/dxn = yn. Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias son los siguientes

• (dy/dx) = sen x
• (d2y/dx2) + k2y = 0
• (d2y/dt2) + (d2x/dt2) = x
• (d3y/dx3) + x(dy/dx) - 4xy = 0
• (rdr/dθ) + cosθ = 5

Orden y grado de la ecuación diferencial ordinaria

Los dos aspectos importantes de las ecuaciones diferenciales ordinarias son el orden y el grado de la ecuación diferencial. Veamos cada uno de ellos en detalle.

Orden de las ecuaciones diferenciales ordinarias

El orden de una ecuación diferencial es el orden de la mayor derivada de la variable dependiente con respecto a la variable independiente. Consideremos las siguientes ecuaciones diferenciales, dy/dx = ex, (d4y/dx4) + y = 0, (d3y/dx3) + x2(d2y/dx2) = 0. En estas ecuaciones diferenciales, las derivadas más altas son de primer, cuarto y tercer orden respectivamente y por lo tanto sus órdenes son 1, 4 y 3 respectivamente.

• Ecuación diferencial de primer orden: Es la ecuación diferencial de primer orden que tiene un grado igual a 1. Todas las ecuaciones lineales en forma de derivadas son de primer orden. Sólo tiene la primera derivada como dy/dx, donde x e y son las dos variables y se representa como: dy/dx = f(x, y) = y'
• Ecuación diferencial de segundo orden: La ecuación que incluye la derivada de segundo orden es la ecuación diferencial de segundo orden. Se representa como; d/dx(dy/dx) = d2y/dx2 = f"(x) = y".

Tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias

Las ecuaciones diferenciales ordinarias se clasifican a grandes rasgos en ecuaciones diferenciales homogéneas y ecuaciones diferenciales no homogéneas. Veamos más sobre cada uno de estos dos tipos de ecuaciones diferenciales.

• Ecuación diferencial homogénea

Una ecuación diferencial en la que el grado de todos los términos es el mismo se conoce como ecuación diferencial homogénea. En general se pueden representar como P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0, donde P(x,y) y Q(x,y) son funciones homogéneas del mismo grado. Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales homogéneas son los siguientes

y + x(dy/dx) = 0
x4 + y4(dy/dx) = 0

Nota: xy(dy/dx) + y2 + 2x = 0 no es una ecuación diferencial homogénea

• Ecuación diferencial no homogénea

Una ecuación diferencial en la que el grado de todos los términos no es el mismo se conoce como ecuación diferencial no homogénea. Por ejemplo, xy(dy/dx) + y2 + 2x = 0 no es una ecuación diferencial homogénea. Uno de los tipos de ecuación diferencial no homogénea es la ecuación diferencial lineal, que es similar a la ecuación lineal.

La ecuación diferencial lineal es una ecuación que tiene una variable, una derivada de esta variable y algunas otras funciones. La forma estándar de una ecuación diferencial lineal es dy/dx + Py = Q, y contiene la variable y, y sus derivadas. Aquí P y Q en esta ecuación diferencial son constantes numéricas o funciones de x. Esto se conoce como una ecuación diferencial lineal en y. De manera similar, podemos escribir la ecuación diferencial lineal en x también. La ecuación diferencial lineal en x es dx/dy + P1x = Q1.

La diferencial es una diferenciación de primer orden y se llama ecuación diferencial lineal de primer orden. Algunos de los ejemplos de ecuación diferencial lineal en y son dy/dx + y = cos x, dy/dx + (-2y)/x = x2.e-x y los ejemplos de ecuación diferencial lineal en x son dx/dy + x = sen y, dx/dy + x/y = ey. dx/dy + x/(ylogy) = 1/y.

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