Características de un vector

Dos vectores son iguales si tienen la misma magnitud y dirección. Esto significa que si tomamos un vector y lo trasladamos a una nueva posición (sin rotarlo), el vector que obtenemos al final de este proceso es el mismo que teníamos al principio.

Dos ejemplos de vectores son los que representan la fuerza y la velocidad. Tanto la fuerza como la velocidad tienen una dirección determinada. La magnitud del vector indicaría la intensidad de la fuerza o la velocidad asociada a la velocidad.

Los vectores se indican en negrita, como en a o b. Especialmente cuando se escribe a mano, donde no es fácil escribir en negrita, a veces se indican los vectores con flechas, como en a o b, o se utilizan otras marcas. Aquí no necesitaremos usar flechas. Denotamos la magnitud del vector a por a. Cuando queramos referirnos a un número y destacar que no es un vector, podemos llamar al número escalar. Denotaremos los escalares con cursiva, como en a o b.

Operaciones con vectores

Podemos definir una serie de operaciones sobre vectores de forma geométrica sin referencia a ningún sistema de coordenadas. Aquí definimos la suma, la resta y la multiplicación por un escalar. En páginas separadas, discutimos dos formas diferentes de multiplicar dos vectores juntos: el producto punto y el producto cruz.

Suma de vectores

Dados dos vectores a y b, formamos su suma a+b, como sigue. Trasladamos el vector b hasta que su cola coincida con la cabeza de a. (Recordemos que dicha traslación no modifica un vector.) Entonces, el segmento de recta dirigida desde la cola de a hasta la cabeza de b es el vector a+b.

La suma de dos vectores

La suma de vectores es la forma en que se combinan las fuerzas y las velocidades. Por ejemplo, si un coche se desplaza hacia el norte a 30 kilómetros por hora y un niño en el asiento trasero detrás del conductor lanza un objeto a 30 kilómetros por hora hacia su hermano que está sentado al este, la velocidad del objeto (¡relativa al suelo!) será en dirección noreste. Los vectores de velocidad forman un triángulo rectángulo, donde la velocidad total es la hipotenusa. Por tanto, la velocidad total del objeto (es decir, la magnitud del vector velocidad) es 202+202--------√=202√ millas por hora respecto al suelo.

La adición de vectores satisface dos propiedades importantes.

La ley conmutativa, que establece que el orden de adición no importa:

a+b=b+a.

Esta ley también se denomina ley del paralelogramo, como se ilustra en la siguiente imagen. Dos de las aristas del paralelogramo definen a+b, y el otro par de aristas definen b+a. Pero, ambas sumas son iguales a la misma diagonal del paralelogramo.

La ley del paralelogramo, o ley conmutativa, de la suma de vectores

La ley asociativa, que establece que la suma de tres vectores no depende del par de vectores que se sume primero:

(a+b)+c=a+(b+c).

La suma de dos vectores. La suma a+b del vector a (flecha azul) y el vector b (flecha roja) se muestra con la flecha verde. Como los vectores son independientes de su posición inicial, ambas flechas azules representan el mismo vector a y ambas flechas rojas representan el mismo vector b. La suma a+b se puede formar colocando la cola del vector b en la cabeza del vector a. De forma equivalente, se puede formar colocando la cola del vector a en la cabeza del vector b. Ambas construcciones juntas forman un paralelogramo, siendo la suma a+b una diagonal. (Por esta razón, la ley conmutativa a+b=b+a se llama a veces ley del paralelogramo). Puedes cambiar a y b arrastrando los puntos amarillos.

Sustracción de vectores

Antes de definir la resta, definimos el vector -a, que es el opuesto de a. El vector -a es el vector con la misma magnitud que a pero que apunta en la dirección opuesta.

El vector opuesto

Definimos la sustracción como la suma con el vector opuesto:
b-a=b+(-a).

Esto equivale a dar la vuelta al vector a aplicando las reglas anteriores de la suma. ¿Puedes ver cómo el vector x en la figura de abajo es igual a b-a? Fíjate en que esto es lo mismo que afirmar que a+x=b, igual que con la resta de números escalares.

Multiplicación escalar

Dado un vector a y un número real (escalar) λ, podemos formar el vector λa como sigue. Si λ es positivo, entonces λa es el vector cuya dirección es la misma que la de a y cuya longitud es λ veces la de a. En este caso, la multiplicación por λ simplemente estira (si λ>1) o comprime (si 0<λ<1) el vector a.

Si, por el contrario, λ es negativo, entonces tenemos que tomar el opuesto de a antes de estirarlo o comprimirlo. Es decir, el vector λa apunta en sentido contrario a a, y la longitud de λa es |λ| veces la longitud de a. No importa el signo de λ, observamos que la magnitud de λa es |λ| veces la magnitud de a: ∥λa∥=|λ|∥a∥.

Las multiplicaciones escalares satisfacen muchas de las mismas propiedades que la multiplicación habitual.

s(a+b)=sa+sb (ley distributiva, forma 1)

(s+t)a=sa+ta (ley distributiva, forma 2)

1a=a

(-1)a=a

0a=0

En la última fórmula, el cero de la izquierda es el número 0, mientras que el cero de la derecha es el vector 0, que es el único vector cuya longitud es cero.

Vídeos de Características de un vector