Volumen de tronco de cono

Un cono circular recto tiene un vértice y una base circular tal que el eje del cono pasa por el vértice y el centro de la base en ángulo recto. Un cono parcial tiene dos caras circulares y el eje de un cono parcial pasa por los centros en ángulo recto de ambas caras circulares. Un cono parcial no tiene un punto de vértice. Un cono parcial también se conoce como frustro.

¿Cómo se calcula el volumen de un cono?

El volumen de un cono se define como el número de unidades cúbicas que ocupa el cono. Por tanto, la unidad de "volumen" es "unidades cúbicas". Por ejemplo, puede expresarse como m3, cm3, in3, etc. dependiendo de las unidades dadas. Veamos cómo encontrar el volumen de un cono.

Comparación entre el volumen de un cono y el de un cilindro

Si un cilindro inscribe a un cono de forma que la base y la altura del cono y del cilindro es la misma, entonces el volumen del cilindro y el volumen del cono se comparan como se indica a continuación:

Volumen de un cono = 1/3 × Volumen de un cilindro

o bien, Volumen de un cono = 1/3 × Área de la base × Altura

Dado que la base y el radio del cono y del cilindro son iguales. Además, como la base del cono es un círculo, el radio de la base = πr2

o, Volumen de un cono = 1/3 × πr2 × h

¿Cómo se calcula el volumen de un cono parcial?

El volumen de un cono parcial se obtiene a partir del volumen de un cono entero basándose en la idea de que un cono parcial se forma a partir de un cono entero. Puesto que un cono entero se corta para dar un cono parcial y un cono pequeño.

Por lo tanto, Volumen de un cono parcial = volumen del cono entero - Volumen del cono pequeño

o bien, Volumen del cono parcial = 1/3 × radio de la base del cono entero × altura del cono entero - 1/3 × radio de la base del cono pequeño × altura del cono pequeño

Derivación de la fórmula del volumen de un cono parcial

Vamos a derivar ahora la fórmula del volumen de un cono parcial a partir del resultado que hemos obtenido.

Derivación del volumen de un cono parcial

Ahora, para el cono completo

Altura = "H" unidades

Radio de la base = "R" unidades

Para el cono pequeño

Altura = "H - h" unidades

Radio de la base = "r" unidades

Volumen de un cono parcial = volumen del cono entero - volumen del cono pequeño

o bien, Volumen del cono parcial = 1/3 × radio de la base del cono entero × altura del cono entero - 1/3 × radio de la base del cono pequeño × altura del cono pequeño

= 1/3 × πR2 × H - 1/3 × πr2 × (H - h)

= 1/3 × π × (R2 × H - r2 × (H - h))

= 1/3 × π(R2H - r2H + r2h)

= 1/3 × π(H(R2 - r2) + r2h)

Dado que la relación entre la altura del cono entero y la altura del cono pequeño es H:(H - h) = R:r, la relación entre la altura del cono entero y la altura del cono parcial es H:h = R:(R - r)

H/h = R/(R - r)

Multiplicando h por ambos lados

H = Rh/(R - r)

Sustituyendo este valor de H en la ecuación anterior, obtenemos

Volumen del cono parcial, V = 1/3 × π(H(R2 - r2) + r2h)
⇒ V = 1/3 × π[(Rh/(R - r)) × (R2 - r2) + r2h] ⇒ V = 1/3 × π[(Rh/(R - r)) × (R - r)(R + r) + r2h] ⇒ V = 1/3 × π(Rh(R + r) + r2h)
⇒ V = 1/3 × π(R2h + Rrh + r2h)
⇒ V = 1/3 × π × h × (R2 + Rr + r2)
⇒ V = 1/3 × πh(R2 + Rr + r2)

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