Derivada de una raíz

Cuando se aplica una función a los resultados de otra función, se crea una composición de funciones. Por ejemplo, digamos que tienes las funciones

f (x) = x2 - 3
g (x) = x2,

La composición g (f (x)), que también se escribe como (g ∘ f) (x), sería (x2-3)2. Esto indica que hay que calcular la función f(x), la función interior, antes de encontrar el valor de g(x), la función exterior.

Para diferenciar la composición de funciones, la regla de la cadena descompone el cálculo de la derivada en una serie de pasos sencillos.

Funciones de la raíz cuadrada

Otra forma de escribir una raíz cuadrada es como un exponente de ½. Este exponente se comporta de la misma manera que un exponente entero en la diferenciación - se reduce en 1 a -½ y el término se multiplica por ½. Por lo tanto, sqrt(x) se diferencia de la siguiente manera

d/dx sqrt(x) = d/dx x(1/2) = (1/2) x(-½)

Para diferenciar una función de raíz cuadrada más complicada en el cálculo, utiliza la regla de la cadena. Es una forma de descomponer una función complicada en partes más sencillas para diferenciarla pieza a pieza. Los resultados se combinan para obtener el resultado final de la siguiente manera

dF/dx = dF/dy * dy/dx

donde y es sólo una etiqueta que se utiliza para representar parte de la función, como la que está dentro de la raíz cuadrada.

Ejemplo de problema: Diferenciar la función raíz cuadrada sqrt(x2 + 1).

• Paso 1: Escribe la función como (x2+1)(½). Etiquetar la función dentro de la raíz cuadrada como y, es decir, y = x2+1.
• Paso 2: Diferencia y(1/2) con respecto a y.
  d/dy y(½) = (½) y(-½)
• Paso 3: Diferencia y con respecto a x.
  dy/dx = d/dx (x2 + 1) = 2x
• Paso 4: Multiplica los resultados de los pasos 2 y 3 según la regla de la cadena, y sustituye y en términos de x.
  2x * (½) y(-½) = x(x2 + 1)(-½)
• Paso 5: Simplifica tu respuesta escribiéndola en términos de raíces cuadradas. Recuerda que una función elevada a un exponente de -1 es equivalente a 1 sobre la función, y que un exponente de ½ es lo mismo que una función de raíz cuadrada.
  x(x2 + 1)(-½) = x/sqrt(x2 + 1)

Ejemplos de la regla de la cadena: Pasos generales

Paso 1: Identificar las funciones interior y exterior.

Para un ejemplo, dejemos que la función compuesta sea y = √(x4 - 37). La función interna es la que está dentro del paréntesis: x4 -37. La función externa es √, que también es la misma que el exponente racional ½.

Paso 2:Diferencia primero la función exterior.

√ (x4 - 37) es igual a (x4 - 37) 1/2, que cuando se diferencia (¡sólo la función exterior!) es igual a ½(x4 - 37) (1 - ½) o ½(x4 - 37)(-½).

Paso 3: Diferenciar la función interna

La derivada de x4 - 37 es 4x(4-1) - 0, que también es 4x3.

Paso 4: Multiplicar el paso 3 por la derivada de la función externa

Multiplicar 4x3 por ½(x4 - 37)(-½) da como resultado 2x3(x4 - 37)(-½), que cuando se calcula es 2x3/(x4 - 37)(-½) o 2x3/√(x4 - 37).

Ejemplos de la regla de la cadena: Funciones exponenciales

Diferenciar utilizando la regla de la cadena suele implicar un poco de intuición. Cuantas más veces apliques la regla de la cadena a diferentes problemas, más fácil será reconocer cómo aplicar la regla. Esta sección muestra cómo diferenciar la función y = 3x + 12 utilizando la regla de la cadena. Sin embargo, la técnica puede aplicarse a una amplia variedad de funciones con cualquier función exponencial exterior.

Paso 1: Diferenciar la función exterior. En este caso, la función exterior es x2. Nota: mantén 3x + 1 en la ecuación. Ignóralo, por ahora. Ten en cuenta que estoy usando D aquí para indicar que se toma la derivada.

D(3x + 1)2 = 2(3x + 1)2-1 = 2(3x + 1)

Paso 2: Diferenciar la función interna. En este ejemplo, la función interna es 3x + 1.

D(3x + 1) = 3.

Paso 3: Combina tus resultados del Paso 1 2(3x+1) y del Paso 2 (3).

= 2(3x + 1) (3)

Paso 4: Simplifica tu trabajo, si es posible. En este ejemplo, 2(3x +1) (3) puede simplificarse a 6(3x + 1).

Y ya está.

Consejo: Esta técnica también se puede aplicar a las funciones externas que son raíces cuadradas. Por ejemplo, para diferenciar
√ X + 1

: (x + 1)½ es la función exterior y x + 1 es la función interior.

Funciones seno, coseno o tangente

A primera vista, diferenciar la función y = sen(4x) puede parecer confuso. Saber por dónde empezar es la mitad de la batalla. La regla de la cadena en el cálculo es una forma de simplificar la diferenciación. Esta sección explica cómo diferenciar la función y = sen(4x) utilizando la regla de la cadena. Sin embargo, la técnica puede aplicarse a cualquier función similar con seno, coseno o tangente.

Paso 1 Diferencie la función exterior, utilizando la tabla de derivadas. En este caso, la función exterior es la función seno. Nota: mantén 4x en la ecuación pero ignóralo, por ahora. La derivada de sen es cos, así que

D(sin(4x)) = cos(4x).

Paso 2 Diferencia la función interior, utilizando la tabla de derivadas. En este ejemplo, la función interior es 4x.

D(4x) = 4

Paso 3. Combina tus resultados del Paso 1 (cos(4x)) y del Paso 2 (4).

= cos(4x)(4)

Paso 4 Simplifica tu trabajo, si es posible. En este ejemplo, cos(4x)(4) no puede simplificarse realmente, pero una forma más tradicional de escribir cos(4x)(4) es 4cos(4x).

Vídeos de Derivada de una raíz