Segmento circular

Un segmento de una circunferencia es la región delimitada por un arco y una cuerda de la circunferencia. Recordemos qué se entiende por arco y cuerda del círculo.

• Un arco es una porción de la circunferencia del círculo.
• Una cuerda es un segmento de línea que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia del círculo.
• Hay dos tipos de segmentos, uno es el segmento menor y el otro es el segmento mayor. Un segmento menor está formado por un arco menor y un segmento mayor está formado por un arco mayor de la circunferencia.

Propiedades del segmento de la circunferencia

Las propiedades de un segmento de una circunferencia son:

• Es el área que encierra una cuerda y un arco.
• El ángulo subtendido por el segmento en el centro de la circunferencia es el mismo que el ángulo subtendido por el arco correspondiente. Este ángulo suele denominarse ángulo central.
• Un segmento menor se obtiene quitando el segmento mayor correspondiente del área total del círculo.
• Un segmento mayor se obtiene quitando el segmento menor correspondiente del área total del círculo.
• Un semicírculo es el segmento mayor de cualquier círculo formado por el diámetro y el arco correspondiente.

Área de un segmento de circunferencia

Un arco y dos radios de una circunferencia forman un sector. Estos dos radios y la cuerda del segmento forman juntos un triángulo. Por tanto, el área de un segmento de circunferencia se obtiene restando el área del triángulo al área del sector, es decir

Área de un segmento de círculo = área del sector - área del triángulo

Fórmula del área de un segmento del círculo

Consideremos el segmento menor de la circunferencia anterior que está formado por la cuerda PQ de una circunferencia de radio 'r' que está centrada en 'O'. Sabemos que todo arco de circunferencia subtiende un ángulo en el centro que se denomina ángulo central del arco. El ángulo que forma el arco PQ es θ. Sabemos por trigonometría que el área del triángulo OPQ es (1/2) r2 sen θ. También sabemos que el área del sector OPQ es

(θ / 360o) × πr2, si 'θ' está en grados

(1/2) × r2θ, si θ' está en radianes

Por lo tanto, el área del segmento menor del círculo es

(θ / 360o) × πr2 - (1/2) r2 sin θ (O) r2 [πθ/360o - sin θ/2], si 'θ' está en grados

(1/2) × r2θ - (1/2) r2 sin θ (O) (r2 / 2) [θ - sin θ], si 'θ' está en radianes

Perímetro de un segmento de circunferencia

Sabemos que el segmento de una circunferencia está formado por un arco y una cuerda de la circunferencia. Consideremos el mismo segmento de la figura anterior.

Perímetro del segmento = longitud del arco + longitud de la cuerda

Sabemos que

• la longitud del arco es rθ, si 'θ' está en radianes y πrθ/180, si 'θ' está en grados.
• la longitud de la cuerda = 2r sen (θ/2)

Así, la fórmula del perímetro del segmento es:

• El perímetro del segmento de una circunferencia = rθ + 2r sen (θ/2), si 'θ' está en radianes.
• El perímetro del segmento de una circunferencia = πrθ/180 + 2r sin (θ/2), si 'θ' está en radianes.

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