Geometrìa

Teorema del cateto

Teorema del cateto
El triángulo rectángulo es el que tiene un ángulo recto que tiene una medida de 90 grados y dos ángulos que son agudos, lo que significa que miden menos de noventa grados.

Teorema del cateto

En un triángulo rectángulo un cateto es una media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella.

  • a es la hipotenusa
  • b y c son los catetos
  • m es la proyección del cateto b sobre la hipotenusa
  • n es la proyección del cateto c sobre la hipotenusa

Las características más importantes de los triángulos rectángulos son:

  • Son polígonos que tienen tres lados.
  • Están formados por tres segmentos.
  • Tienen un ángulo recto de noventa grados.
  • Los dos ángulos que no son rectos serán siempre ángulos agudos.
  • El ángulo recto está formado por los dos lados más cortos
  • Pueden ser isósceles o escalenos

Propiedades

Los triángulos rectángulos tienen varias propiedades que se mencionan a continuación:

  • Todos tienen dos ángulos agudos y su hipotenusa es mayor que el cateto.
  • El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma del cuadrado del cateto.
  • La suma de la hipotenusa y el diámetro de una circunferencia inscrita en el triángulo es igual a la suma de los catetos.
  • Al calcular el área, un cateto puede considerarse la base y el otro la altura.
  • La mediana de la hipotenusa descompone un triángulo escaleno a escala recta en dos triángulos.
  • La mediana de la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles lo descompone en dos triángulos rectángulos isósceles congruentes y equivalentes.
  • Dos triángulos rectos que tienen una hipotenusa común, y los ángulos rectos en semiplanos opuestos determinados por la recta que contiene la hipotenusa, forman un cuadrilátero birectángulo.
  • La mediana que parte del ángulo recto es igual a la mitad de la hipotenusa.
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Tipos de triángulos rectángulos

Existen dos tipos diferentes de triángulos rectángulos, estos son:

  • Triángulo rectángulo isósceles: es el triángulo que tiene un ángulo recto de 90º y dos ángulos de 45º. Los dos catetos son iguales.
  • Triángulo rectángulo escaleno: es el triángulo rectángulo que tiene todos los ángulos diferentes teniendo siempre uno de ellos de 90º. Los lados también son diferentes.

Elementos

Los elementos del triángulo rectángulo son:

  • Cateto: son los lados del triángulo que juntos forman el ángulo recto.
  • Hipotenusa: es el lado mayor del triángulo opuesto al ángulo recto.
  • Ángulo recto: es un ángulo de 90º formado por los dos catetos.
  • Ángulos agudos: los otros dos ángulos del triángulo (α y β) son menores de 90º. La suma de los dos ángulos agudos es 90º.

Teorema de Pitágoras

El cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma del cuadrado de las longitudes de los catetos.

a² = c² + b²

Comparaciones

De a² = c² + b², se deduce que a²> c² y a²> b² (la suma es mayor que cualquier suma en positivo) y a su vez a> c y> b (la raíz cuadrada conserva el orden). En ambas posibilidades, la hipotenusa es mayor que cualquiera de los catetos.

Como los ángulos opuestos a los catetos suman 90º, cualquiera de los ángulos agudos mide menos de 90º. Cuanto mayor es el ángulo, mayor es el lado opuesto, luego la hipotenusa que se opone al ángulo recto es mayor que cualquiera de los dos catetos.

Ortocentro

Un cateto es perpendicular al otro y éste al primero. Luego un cateto, al unir un vértice con el lado opuesto y ser perpendicular al otro, es también altura. Además, se puede demostrar que el otro cateto es altura. La altura correspondiente a la hipotenusa parte del vértice del ángulo recto, por lo que las tres alturas del triángulo rectángulo se encuentran en el vértice del ángulo recto y este vértice se convierte en el ortocentro de un triángulo rectángulo.

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Área

El área de un triángulo rectángulo se puede expresar como el semiproducto de los catetos, considerando uno de ellos como base y el otro como altura. A = 0,5bc.

El área anterior también se puede deducir de A = 0,5 bcsen A. donde A = 90º, y su seno = 1.

 

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